Ingeniería De Control - Respuesta A La Frecuencia

Proyecto de Investigación
“Respuesta a la frecuencia”

Introducción
Para verificar el comportamiento así como también el orden de un sistema, se utilizan entradas de prueba como el escalón, el impulso o la rampa para ver cual era la respuesta de un sistema y así obtener algunas características de el como el tiempo de establecimiento, ganancia, máximo sobre impulso (en el caso de segundosordenes), entre otras cosas que nos decían de que clase de sistema se estaba tratando, incluso de que tipo de controlador teníamos controlando la planta. En este reporte se busca examinar el comportamiento que tienen los sistemas en estado estable ante una entrada senoidal y como es que en los sistemas lineales de coeficientes constantes, ante este tipo de entradas, se obtiene una salida con la mismafrecuencia que la de la señal de entrada pero con diferentes magnitud y fase. Realizaremos este análisis mediante los diagramas de Bode y explicaremos cuales son los procedimientos necesarios para obtener el diagrama de Boda, asi como también realizaremos un ejemplo.
Desarrollo
La respuesta a la frecuencia de un sistema esta definida como la respuesta en estado estable del sistema ante unaentrada sinusoidal. La entrada senoidal y la salida solo difieren por un angulo de fase y amplitud, teniendo la misma frecuencia ambas. Esto se puede ver en el siguiente análisis.
Por ejemplo, consideremos el sistema Y(s)=T(s)R(s) con r(t)=Asin(wt). Tenemos
Rs=Aws2+w2
Y
Ts=m(s)q(s)=m(s)i=1n(s+pi)
Donde pi, se asumen polos diferentes
Ys=k1s+p1+⋯+kns+pn+αs+βs2+w2

Si sacamos la inversa deLaplace vemos que
yt=k1e-p1t+⋯+k1e-pnt+L-1{αs+βs2+w2}

De esta ecuacion podemos ver que si el sistema es estable,
limt→∞y(t)=limt→∞L-1{αs+βs2+w2}
Ya que todas las exponenciales se van a 0 en un tiempo infinito.
Entonces la respuesta en estado estable termina siendo la siguiente.
yt=L-1αs+βs2+w2
=1wAwT(jw)sin⁡(wt+∅)
=AT(jw)sin⁡(wt+∅)
Donde ∅=∠T(jw)
De aquí se puede ver que la respuesta enestado estable de un sistema depende solamente de T(jw) y no de la entrada que se de, otorgando una diferente magnitud A y una diferente fase ∅ para cada frecuencia.
Esto, solo como demostración de porque se aplica este análisis de respuesta a la frecuencia.
Cabe mencionar que la función T(s), usualmente representa la función en lazo abierto de la planta que queremos controlar a la cual lequeremos obtener su respuesta a la frecuencia.
Con esto nos podemos dar cuenta que para realizar una análisis de frecuencia, basta con evaluar en s=jw nuestra función de transferencia de la planta en lazo abierto y con esto podemos obtener una magnitud y una fase diferente para cada frecuencia. En esto se basan los diagramas de Bode, frecuentemente llamados diagramas logarítmicos. Boda utiliza la escalalogarítmica debido a que en esta se puede observar mejor la respuesta así como también se cuenta con otras características ventajosas como lo es podemos representar una multiplicación de funciones como la suma de ellas en la escala logarítmica. Esto se explicara mas a detalle a continuación.

Supongamos que tenemos una función como la siguiente
Ts=m(s)q(s)=m(s)i=1n(s+pi)

En el método deBode se cuentan con factores importantes que mas adelante vamos a explicar a detalle. El método sugiere que nosotros convirtamos la magnitud de cada factor de la función a una escala logarítmica para así poder sumar al final todas graficas independientes de cada factor. Esto gracias a que si a una multiplicación le sacamos el logaritmo, esta se convierte en una suma lo cual nos da la ventaja para asípoder obtener la grafica de cada función independiente y luego sumarlas. Esto se hace debido a que si no sacaramos el logaritmo tendríamos que multiplicar todos los factores de la función T(s) ya que estaríamos sacando la magnitud cuando s=jw y las magnitudes se multiplican. A diferencia del grafico de Bode para magnitudes, se tiene también un grafico para los angulos de fase ∅. Estos no son...