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LA PART´ ICULA EN UNA CAJA
El problema m´s sencillo para empezar a aplicar los postulados de la mec´nica a a cu´ntica es el de un sistema hip´tetico constituido por una part´ a o ıcula de masa m que est´ encerrada entre dos barreras de potencial infinito y que puede moverse a solamente a lo largo del eje x entre los puntos x = 0 y x = a. Dentro de la caja, la part´ ıcula no est´ sometida aninguna fuerza. Este problema recibe el nombre a de part´ ıcula en la caja unidimensional. Es conveniente plantear una metodolog´ ıa sistem´tica como la que se describe a continuaci´n. a o

1. METODOLOG´ IA
(1) Escribir el Hamiltoniano del sistema Para escribir el Hamiltoniano se debe identificar primero la energ´ potencial ıa cl´sica del sistema. En el caso de la part´ a ıcula en una caja la energ´potencial es: ıa V (x) = 0 para 0 ≤ x ≤ a (1) V (x) = ∞ para x < 0 y x > a donde a es el tama˜o de la caja. n El operador Hamiltoniano es el operador correspondiente a la suma de las energ´ ıas cin´tica y potencial. e

h ¯ 2 d2 ˆ H=− 2m dx2
2

para 0 ≤ x ≤ a (2)

h ¯ ˆ H=− + ∞ para x < 0 y x > a 2m dx2 (2) Escribir la ecuaci´n de Schr¨dinger o o h ¯ 2 d2 Ψ(x) = EΨ(x) para 0 ≤ x ≤ a 2m dx2 1d2



(3)



h ¯ 2 d2 + ∞ Ψ(x) = EΨ(x) para x < 0 y x > a 2m dx2

(4)

(3) Resolver la ecuaci´n diferencial o Dentro de la caja, la ecuaci´n en x admite una soluci´n del tipo: o o Ψ(x) = eax cuya soluci´n m´s general es la siguiente: o a
¯ Ψ(x) = c1 e h i



2mE·x

¯ + c2 e− h

i



2mE·x

0≤x≤a

(5)

Fuera de la caja, la ec. 4 puede ser reescrita como h ¯ d2Ψ(x) = ∞Ψ(x) 2m dx2 pues E es despreciable en comparaci´n con infinito. La unica soluci´n posible para o ´ o la regi´n exterior a la caja es que la funci´n de onda sea igual a cero: o o Ψ=0 xa

(6) Imponer las condiciones de contorno Para que haya continuidad en la funci´n Ψ(x) dentro y fuera de la caja es necesario o que Ψ(0) = Ψ(a) = 0 Substituyendo estas condiciones en la funci´n de la ec. 5se obtiene un sistema de o dos ecuaciones.

Ψ(0) = c1 + c2 = 0
¯ Ψ(a) = c1 e h i



2mE a

¯ + c2 e− h

i



2mE a

=0

Estas ecuaciones no son independientes. Solo permiten encontrar una constante en funci´n de la otra. De la primera ecuaci´n, se obtiene c1 = −c2 . Substituyendo este o o resultado en la segunda ecuaci´n y utilizando la f´rmula de Euler para eiα , se llega o oa que: sen 1√ 2mE a = 0 h ¯ 2

La funci´n seno es igual a cero solamente cuando el ´ngulo es igual a un n´mero o a u entero de π, de modo que esta relaci´n solo es v´lida si se cumple que: o a 1√ 2mE a = nπ h ¯ (7) Encontrar los autovalores La ec. 6 proporciona la condici´n sobre E para las soluciones de la ecuaci´n de o o Schr¨dinger de la part´ o ıcula en una caja. Los posibles valores de Eson los autovalores, o niveles de energ´ ıa: En = n2 h2 8ma2 n = 0, 1, 2, 3, . . . (7) n = 0, 1, 2, 3, . . . (6)

Al imponer a la part´ ıcula libre l´ ımites a su movimiento, se observa que su energ´ ya ıa no puede tener cualquier valor. Solo son permitidos determinados niveles de energ´ ıa que dependen de la dimensi´n a de la caja. Se dice que la energ´ est´ cuantizada. o ıa a (8) Encontrar lasautofunciones y normalizarlas Como c1 = −c2 , la funci´n Ψ(x) se puede escribir o Ψ(x) = N sen o ´, utilizando los valores de En : nπx n = 1, 2, . . . a d´nde el valor n = 0 no ha sido inclu´ porque conduce a una soluci´n trivial, o ıdo o Ψ0 (x) = 0. La constante N se denomina factor de normalizaci´n y se encuentra o aplicando la condici´n: o Ψn (x) = N sen N2
0 a

1 h ¯

2mEn · x

sen2nπx dx = 1 a

Resolviendo la integral se tiene: 2 a Finalmente, las funciones de onda de la part´ ıcula en una caja se pueden escribir como: N= Ψn (x) = 2 nπx sen a a 3 n = 1, 2, . . . (8)

El n´mero n que caracteriza Ψn y En es el n´mero cu´ntico para el sistema consiu u a derado.

2. FUNCIONES ORTOGONALES
Dos funciones ψi y ψj de las mismas variables y definidas para el mismo intervalo...
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