Integración en una variable.

Tema 4

Integraci´n en una variable. o Aplicaciones
Las integrales formalizan un concepto bastante sencillo e intuitivo, el de area. Los or´ ´ ıgenes del c´lculo de ´reas los podemos encontrar en el “m´todo de exhauci´n”desarrollado por los a a e o griegos hace m´s de 2000 a˜os: consiste en ir inscribiendo en la regi´n cuya area se quiere a n o ´ calcular, regiones poligonales que la aproximany cuya area seamos capaces de calcular. Este ´ ´ m´todo fue usado por Arqu´ e ımedes de Siracusa para calcular el area encerrada por funciones “sencillas”, el eje de abscisas y las rectas verticales x = a y x = b. Por ejemplo, la del a ´rea encerrada bajo un segmento de par´bola. Este resultado fue desestimado en el siglo a XVII ya que no se hab´ definido formalmente el concepto de area. Sinembargo, la obra de ıa ´ Arqu´ ımedes sugiere un camino para definir el concepto de integral y a trav´s de ella, el de e a ´rea, y le convierte, junto a varios coet´neos suyos, en precursores del c´lculo integral. a a Desde los griegos no se revivi´ el m´todo de exhauci´n hasta el siglo XVII con Cavalieri, o e o Descartes, Pascal y Fermat. Pero fueron Newton y Leibnitz los que descubrieron,independientemente uno del otro, que los problemas del c´lculo integral y del diferencial, eran en a realidad formas inversas de uno solo. Para Newton el c´lculo integral tiene un papel secundario, pues lo considera, seg´n las a u ense˜anzas de su maestro Barrow, un proceso inverso al del c´lculo diferencial. A Leibnitz n a le debemos la mayor parte de las notaciones actuales de los c´lculos diferencial eintegral; a observ´ que la f´rmula del cambio de variable descubierta por Barrow es evidente utilizando o o su notaci´n. o En los siglos XIX y XX, Cauchy, Riemann (y Lebesgue e Itˆ en formas m´s complejas) o a perfeccionaron el concepto de integral, ampliando ´ste a un conjunto m´s basto de funciones. e a Abordaremos el tema desde el punto de vista de Riemann.

4.1.

Conceptos b´sicos aIntegral definida: definici´n, condici´n de integrabilidad y propiedades o o
La idea que subyace en la definici´n de integral definida es, como dijimos en la introduco ci´n, la que utiliza Arqu´ o ımedes para el c´lculo de areas encerradas entre los ejes coordenados a ´ ´ y la gr´fica de una funci´n f (x). Supongamos que queremos calcular el area A encerrada por a o 1

´ TEMA 4. INTEGRACION EN UNAVARIABLE. APLICACIONES una funci´n f bajo un segmento [a, b] (por ahora supondremos que la funci´n est´ definida y o o a acotada en [a, b]).

Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos [t0 , t1 ], [t1 , t2 ], . . . , [tn−1 , tn ] como en la gr´fica a anterior, por medio de n´meros t0 , t1 , . . . , tn , que verifican u a = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = b. Al conjunto P = {t0 , t1 , . . . , tn } sele denomina partici´n del intervalo [a, b]. o Para cada partici´n P , consideramos n puntos “representativos”ξ1 , . . . , ξn , tales que ξi ∈ o [ti−1 , ti ], y consideramos las n bandas rectangulares con base en cada subintervalo y altura f (ξi ).

Si sumamos las ´reas de las n bandas, obtendremos (en la medida en que n sea grande y a las bandas tengan bases peque˜as) una aproximaci´n del area Abuscada. n o ´ El ´rea de cada banda rectangular es a a ´rea banda = base · altura = (ti − ti−1 ) · f (ξi ). La suma de las ´reas de las bandas (que depende de la partici´n P elegida y de la imagen por a o f de los puntos ξi , i = 1, ..., n) se denomina suma de Riemann, y se denota por S(f, P ). Resumiendo,
n

S(f, P ) =
i=1

(ti − ti−1 )f (ξi ) ∼ A. 2 Fundamentos Matem´ticos a Curso2004/05

Ingenier´ T´cnica ıa e Forestal

´ 4.1. CONCEPTOS BASICOS Parece l´gico pensar que mientras m´s peque˜o elijamos el di´metro de la partici´n, o a n a o δ(P ) ≡ m´x {tk − tk−1 }, obtendremos una mejor aproximaci´n del area. a o ´
1≤k≤n

Con esta idea, se define la integral definida de f entre a y b como el l´ ımite de las sumas de Riemann S(f, P ) cuando el di´metro de la partici´n P...