Integración numerica

4.2 INTEGRACIÓN NUMÉRICA
El objetivo de esta sección es aproximar la integral definida de una función ƒ(x) en un intervalo [a, b] es decir
Los métodos de integración numérica se usan cuando ƒ(x)es difícil o imposible de integrar analíticamente, o cuando ƒ(x) esta dada como un conjunto de valores tabulados.
La estrategia acostumbrada para desarrollar fórmulas para la integración numéricaconsiste en hacer pasar un polinomio por puntos definidos de la función y luego integrar la aproximación polinomial de la función.
4.2.1 REGLA DEL TRAPECIO
Considérese la función ƒ en el intervalo[a, b], con los puntos (a, ƒ(a)) y (b, ƒ(b)) se construye el polinomio de Lagrange de grado uno.
ƒ(x) = P1(x) + E, donde E es el error en la aproximación

ahora,

si h = b - a     
La expresión queaproxima el valor de la integral se conoce como regla del trapecio, porque geométricamente se puede interpretar que se aproxima el área bajo la curva por el área bajo un polinomio de grado uno P1(x) yla figura que resulta es un trapecio. Ver figura 4.3
4.2.2 REGLA DE SIMPSON
Una forma evidente de mejorar la aproximación de una integral es con una mejor aproximación para el integrando ƒ(x). Estose puede lograr con un polinomio de grado 2. Ver figura 4.4
Considérese la función ƒ(x) en el intervalo [a, b] y x0 = a, x1 = x0 + h, x2 = b, donde.
Con los puntos (x0, ƒ(x0)), (x1, ƒ(x1)) y (x2,ƒ(x2)) se construye el polinomio de Lagrange de grado 2,

ahora  La integral del polinomio se resuelve por partes y resulta:

reemplazando x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h resulta:

Luego ,
Por lo tanto.   
Esta expresión se conoce como regla de simpson.
El error en la aproximación es 
Ejemplo.
Aproximar  usando:
i) La regla del trapecio
ii) La regla de Simpson
Encuentre también una cota parael error en cada aproximación.
Solución:
i) Para la regla del trapecio.entonces


ii) Para la regla de Simpson 
, a = x0 = 0, b = x2 = 2, x1 = x0 + h = 1


El valor real de la integral...