Integracion Numerica

Método de los Elementos Finitos para Análisis Estructural
Integración numérica aplicada al Método de los Elementos Finitos

Método de Newton-Cotes
Ajustar la función mediante un polinomio eintegrarlo
I =

∫ f (ξ)d ξ = ∑ H f (ξ )
−1 i =1,n i i

+1

Grado 1, n=2, regla del trapecio Grado 2, n=3, regla de Simpson
f( ) f( )

I = f (−1) + f (+1)
I = f (−1) + 4 f (0) + f (+1) 3Parábola

-1

+1

-1

+1

Grado 3, n=4

I=

f (−1) + 3(−1/ 3) + 3 f (1/ 3) + f (+1) 4

Error: O(hn) (h: separación entre los puntos)
1

Cuadratura de Gauss
No se especifica a priori laposición de los puntos: alcanzar la mayor precisión posible. 2n parámetros a definir (Hi, ξi) → polinomio de grado 2n-1 n puntos integran de forma exacta un polinomio de grado 2n-1 Error: O(h2n)
Nºpuntos (n) n=1 n=2 n=3

ξi
0.0000 -0.57735 +0.57735 -0.77459 0.00000 +0.77459

Hi 2.0000 1.0000 1.0000 0.55555 0.88888 0.55555 0.34785 0.65214

Integ. exacta 1 3 5

n=4
2

± 0.86113 ±0.33998

7

Cuadraturas de Gauss n=1 y n=2
Las más utilizadas en la práctica

n=1

ξ1=0

H1=2

n=2

ξi=±0.577

Hi=1

Integración exacta: polinomios orden 1

Integración exacta:polinomios orden 3

3

Integración en rectángulos
Aplicación en ambas direcciones ξ, η
+1 +1

I =
+1

∫ ∫ f (ξ, η) d ξ d η
−1 −1 i =1,n i i

∫ f (ξ, η) d ξ = ∑ H f (ξ , η) = g(η)
−1

I =∫ g(η) d η = ∑ H
−1 j =1,n

+1

j

g(η j ) =

i =1,n j =1,n

∑ ∑HH
i

j

f (ξi , η j )

4

Integración en triángulos
Coordenadas de área (no independientes):
1 1−L

I =∫
0∫
0

f (L1, L2 , L3 ) dL1 dL2

I = ∫∫ f (L1, L2 , L3 ) dL1 dL2 =
Nº puntos (n) 1 3 Orden 1 2

i =1,n

∑W

i

f (L1i , L2i , L3i )
Wi 0.5 1/6 1/6 1/6 -27/96 25/96 25/96 25/96

43

Coordenadas 1/3 , 1/3 , 1/3 1/2 , 1/2 , 0 0 , 1/2 , 1/2 1/2 , 0 , 1/2 1/3 , 1/3 , 1/3 0.6 , 0.2 , 0.2 0.2 , 0.6 , 0.2 0.2 , 0.2 , 0.6

5

Integración en tetraedros
I = ∫∫∫ f (L1, L2 , L3...