Integracion de montecarlo

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INTEGRACION DE MONTECARLO

En el mundo de las matemáticas de programación, existe una herramienta para evaluar integrales que tienen un alto grado de complejidad. Este método utiliza númerosgenerados de forma aleatoria mediante el método de montecarlo, a diferencia de los otros algoritmos de integración que utilizan números predefinidos.
Con la integración de Montecarlo se puede estimar elvalor de la integral de una función G continua en un intervalo definido. Para plantear la solución, se supone que el intervalo de integración es [0, 1] y que X1, X2…..XM es una muestra de variablesaleatorias con distribución uniforme.
Entonces, la solución de la integral se define como:
01Gxdx=E(GX)
Como puede verse en esta definición de la integral, el término E en estadística hacereferencia a que lo que se va a encontrar es una esperanza matemática, la exactitud de este, depende de variables intrínsecas del algoritmo que se utilice.
En teoría lo que se hace es tomar n muestras Xicondistribución uniforme en el intervalo deseado, y utilizando la teoría de la estadística y la probabilidad, puntualmente la ley de los grandes números, la integral de G(x) se puede aproximar como:01Gxdx ≈1Mi=1MG(Xi)
Básicamente todo el problema para resolver la integral se reduce a generar la muestra inicial.
Para generalizar el procedimiento, cabe anotar que cualquier integral sobre unintervalo [a, b] se puede transformar a una integral sobre el intervalo [0, 1] haciendo este cambio de variable x=(a+b-a)u, por lo tanto se obtiene:
abGxdx=b-a01Ga+b-audu ≈b-aMi=1MG(a+b-aui)
Por ejemplo,si se desea aproximar el valor de:
I=12π-2.52.5e-x22dx
Primero se debe cambiar el intervalo de integración a [0, 1], sabemos que a= 2.5 y b=-2.5
I=52π01e-(2.5u)22du≈5M2πi=1Me-(2.5u)22=1.0066Para M=100

Como información es bueno comparar este resultado con otros métodos numéricos de solución de integrales. Con el método del trapecio se requiere solo de dos evaluaciones de la función...
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