Integracion Numerica

CAPITULO 9
DERIVACION NUMERICA
1. Introducción
2. Derivación numérica
3. Métodos de diferencias finitas
3.1. Formulas de diferencias finitas hacia adelante
3.1.1. Primera diferencia
3.1.2. Segunda diferencia
Ejemplo 1
4.2. Formulas de diferencias finitas hacia atrás
4.3.1. Primera diferencia
4.3.2. Segunda diferencia
Ejemplo 2
4.3. Formulas dediferencias centrales
4.4.3. Primera diferencia
4.4.4. Segunda diferencia
Ejemplo 3
4. Inestabilidad numérica de las formulas de diferencias finitas
4.1. Diferencias centrales
Derivación numérica por diferencia centrada de orden O(h2)
Fórmulas de las diferencias centradas de los tres puntos
Derivación numérica por diferencia centrada de orden O(h4)
Fórmula de los trespuntos
Fórmula de los cinco puntos
Ejercicios resueltos
Ejercicios de fijación

CAPÍTULO 9

DERIVACIÓN NUMÉRICA

Introducción

La derivada es de uso común en la matemática y la ingeniería, sin embargo, en la práctica, de muchas funciones con las que se trabaja, no se conoce su expresión analítica y solamente se dispone de valores en un conjunto de puntos.
En algunos casos es necesarioproceder a calcular el valor de alguna derivada de algunas funciones en un punto concreto. En este tipo de situaciones no se puede utilizar el concepto riguroso de derivada por desconocimiento de la expresión de la función. De esta manera surge la necesidad de diseñar métodos numéricos que permitan aproximar el valor de las derivadas de una función en algún punto a partir del conocimiento de losvalores de la función en un soporte dado.
Los métodos de derivación numérica desarrollados con el fin de aproximar algún valor buscado, muestran un buen comportamiento en numerosos casos. Es por ello que algunas veces, aun disponiendo de la expresión analítica de las funciones a derivar, se opta por aproximar los valores de las derivadas mediante fórmulas numéricas suficientemente precisas.
Ladiferenciación numérica es muy útil en casos en los cuales se tiene una función cuya derivada es difícil o complicada de hallar, o en casos en los cuales no se tiene una función explícita sino una serie de datos experimentales.

El problema de la derivación numérica consiste en la evaluación de
la derivada de la función en un punto, cuando únicamente conocemos
los valores de la función enuna colección de puntos x0, x1,... xn.
Aunque, en apariencia se trata de un problema similar al de la
Integración numérica; de hecho la derivación es más complicada ya que,
en la integración los errores tienden a cancelarse, y, como vimos, no
necesitamos que la aproximación describa con fidelidad la función
localmente.
Sin embargo, la derivada es una propiedad esencialmente local, porlo
cuál deberemos aproximar la función lo más fielmente posible en el
entorno inmediato del punto en el que la queramos calcular.

Las fórmulas de derivación numérica aparecen en el desarrollo de algoritmos para la solución de problemas de contorno en ecuaciones diferenciales ordinarias (y en ecuaciones en derivadas parciales). En general, podemos obtener aproximaciones numéricas de laderivada en un punto derivando alguna función interpolante, por ejemplo un polinomio de Lagrange, algún trazador cúbico, etc. Sin embargo, en la práctica pequeños errores en los datos pueden producir malos resultados en las derivadas. Aquí vamos a experimentar con fórmulas que se obtienen derivando el polinomio interpolante de Lagrange.

Derivación numéricaf(x)
Secante

f(x0+h)

f(x0)

x0 x0+h

Por definición la...