Integracion

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS

Carlos Orihuela Romero, MSc

CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACIÓN
En los capítulos anteriores se analizó el cálculo diferencial, el cual trata sobre la tasa de cambio de las funciones. Diferenciación es el proceso de hallar la derivada F´(x) de una función F(x). Sin embargo, algunas veces en economía se conoce la tasa de cambio de una función F´(x) y lo quese desea es obtener la función F(x) o la función original. Así, el proceso inverso de la diferenciación es denominado integración o antidiferenciación. De esta forma, la función original F(x) es llamada integral o antiderivada de F´(x). En general, las integrales pueden clasificarse en indefinidas y definidas. 5.1 Integral Indefinida Haciendo f (x) = F´(x), la antiderivada de f (x) se expresamatemáticamente como:

∫ f ( x )dx = F ( x ) + c

(5.1)

El lado izquierdo de la expresión (5.1) se lee: “la integral indefinida de f de x con respecto a x”. El símbolo integración. 5.1.1 Reglas básicas de integración a) Regla 1: La integral de una constante k es:

∫

denota una integral mientras que “c” es la constante de

∫ kdx = kx + c
Ejemplo 5-1. ∫ 5dx = 5x + c b) Regla 2: Laintegral de una potencia es:
n n+1 ∫ x dx = n + 1x + c

(5.2)

1

( n ≠ −1)

(5.3)

Ejemplo 5-2.

3 4 ∫ x dx = 4 x + c

1

CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION

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c) Regla 3: la integral de una función exponencial es:

akx ∫ a dx = k ln a + c
kx

(5.4)

Ejemplo 5-3. ∫ 23x dx =

23x +c 3ln2

d) Regla4: La integral de una función exponencial natural es:

kx ∫ e dx =

ekx +c k

(5.5)

Ejemplo 5-4. ∫ 9e −3x dx = 9 ∫ e −3x dx =

9e −3x +c −3

e) Regla 5: la integral de una función logarítmica es:

∫ x dx = ln x + c
Ejemplo 5-5. ∫ 3x −1dx = 3 ∫

1

(x > 0)

(5.6)

1 dx = 3ln x + c x

5.1.2 Condiciones iniciales y condiciones de frontera En muchos problemas una condicióninicial (y=y0 cuando x=0) o una condición de frontera (y=y0 cuando x=x0) es dada para determinar la constante de integración, c. Permitiendo una sola determinación de c. Por ejemplo, si

y = ∫ 2dx = 2x + c
sustituyendo y = 11 cuando x = 3,hallamos el valor de c: 11 = 2(3) + c → c = 5 Por lo tanto, y = 2x + 5. Note que aun cuando c es especificado, puede asumirse como un infinito número de valores.CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION 126

∫ 2dx

permanece

como integral indefinida porque x no esta especificado. Entonces, la integral 2x+5

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5.2 Integral Definida El teorema fundamental del calculo establece que el valor numérico de una integral definida de una función continua f(x) tras un intervalo desde a-b estadado por la integral indefinida F (x) + c evaluada al limite más alto de integración (b), menos la misma integral evaluada al limite más bajo de integración (a). Puesto que “c” es común a ambos, la constante de integración es eliminada en la sustracción
b b ∫a f(x)dx = F(x) a = F(b) − F(a)

(5.7)

De esta forma, el área bajo de una función desde a hasta b puede ser expresada como una integraldefinida de f(x) tras un intervalo a hacia b, como se aprecia en el siguiente Gráfico 5-1. Gráfico 5-1
y y=f(x)

0

a

b

x

Esta técnica tiene diversas aplicaciones en la economía puesto que permite obtener áreas de funciones continuas de una forma relativamente sencilla. De esta forma, las integrales definidas permiten obtener valores numéricos mientras que las integrales indefinidassolo permiten obtener funciones. Ejemplo 5-6. Las integrales definidas de (1)
4 2 4 1

∫1 10xdx

4

y (2)

3 3 ∫1 (4x + 6x)dx

serán:

(1)

∫1 10xdx = 5x

= 5(4)2 − 5(1)2 = 75
3

(2)

3 3 4 2 4 3 4 2 ∫1 (4x + 6x)dx = ⎡ x + 3x ⎤1 = ⎡(3) + (3) ⎤ − ⎡(1) + 3(1) ⎤ = 104 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

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