Integracion

UNIVERSIDAD DEL ZULIA
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
CÁTEDRA: CÁLCULO III

Profesora Mercedes Becerra

Maracaibo Noviembre 2012
La integración múltiple no es más que una generalización de la integral de una sola variable. Las integrales múltiples, o sea, las integrales de funciones de dos o tres variables se aplican para el cálculo de área, volumen, masa y área desuperficie en una variedad de mayores situaciones de las que puede manejarse con la integral simple.

INTEGRALES DOBLES.
El tipo más simple de integrales múltiples es la integral doble

de una función continua sobre un rectángulo cerrado , es decir, en el plano .
Sea definida en una región cerrada y acotada . Por medio de una red de rectas verticales y horizontales paralelas a losejes de coordenados, se forma así, una partición de en subregiones rectangulares , (= 1,2,3,…..,n), de áreas contenidas totalmente en .
Sea la norma de la partición, o sea la longitud de la diagonal mayor de las . Luego en elegimos un punto de muestra en cada subregión y formamos la Suma de Riemann que corresponde (si ), a la suma de los volúmenes de n cajas. Al hacer la partición cada vezmás pequeña, de modo que todos los sean más pequeños, tendremos el volumen del sólido que se encuentra debajo de la superficie y por encima de la región.
Esperamos determinar el volumen exacto considerando el límite de la suma de Riemann , cuando la norma de la partición tiende a cero. Por tanto, definimos la integral doble de la función sobre el rectángulo como:
= , si existe.Cuando = 1 en , entonces, dará simplemente el área de la región: esto es,

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE.
1.- La integral doble es lineal; es decir,
a. = ;
b. =
2.- La integral doble es aditiva en rectángulos
= + , donde es la unión de dos subregiones y que no se sobreponen.
3.- Se cumple la propiedad de comparación. Si fx,y≥g(x,y) para todo en ,

≥
4.-0 si

INTEGRALES ITERADAS.
TEOREMA DE FUBINI
Suponga que es continua en un rectángulo .
Entonces
=
Significado de los paréntesis en la integral iterada.
Si = , primero mantenemos constante e integramos con respecto de , de . El resultado de esta primera integración es la integral parcial de con respecto de , que se denota con , y es una función solo de . Entonces integramosesta última función con respecto de , de .
De manera análoga, se calcula la integral iterada
= .
Este teorema nos indica como calcular una integral doble por medio de dos integraciones sucesivas (o iteradas) de una sola variable, las cuales se pueden calcular aplicando el teorema fundamental del cálculo.
INTEGRABILIDAD. Se dice que es integrable en R, si existe el límite. Si escontinua en R, entonces es necesariamente integrable en R.
EJERCICIOS PROPUESTOS.
Evalué las siguientes integrales, use integrales iteradas:
a.- fx,y=3x3+23xy en el rectángulo R= 2,5x-2,-1

b.- fx,y=ycos(xy) en el rectángulo R= 2,3x0,π2

c.- fx,y= 010π/2yex+senyxdxdy d.- fx,y= 0301x+ydxdy

e.- fx,y= 0ln20ln5e2x-ydxdy f.- fx,y=-1101x3y3+3xy2dydx

g.- fx,y= 1203x2ydxdy h.- fx,y= 0402xydxdy

i.- fx,y= 0π/403senyxdydx j.- fx,y= π/2π12xcos(xy)dydx

k.- fx,y= 0ln201xyey2xdydx l.- fx,y= 0101xyx2+y2+1dxdy

m.- fx,y= ee2ee3ln⁡(xy)dxdy n.- fx,y= 1257y24-x2dxdy



yx
d
c

y
x
d
c

y
x
a
b

y
x
a
b

ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA



Región de tipo I Región de tipo II
La región esta acotada por La región esta acotada por



Orden de integración
Orden de...