Integración superior
INTEGRACIÓN SUPERIOR
INTEGRAL DOBLE
Sea
una función acotada donde
La función f es integrable (Riemann) en R si
∬
(
)
(
∫ ∫
(
)
(
∫ (∫
] [ ]
, donde:
)
TEOREMA DE FUBINI
Si f(x,y) es una función continua en
∬
[
[
)
] [
], entonces:
∫ (∫
)
(
)
)
[
] [ ] y además la función f se puede descomponer en un producto de
Si,
dos funciones, cada una de ellas dependiendo únicamente de una variable ( ) ( ), donde
]) y ( )
([
([ ]), entonces:
( )
(
∬
)
∫
( )
∫
( )
CÁLCULO DE LA INTEGRAL DOBLE CUANDO D ES UNA REGIÓN ELEMENTAL
{(
∬
[
)
(
]
( )
( )
)
∫ (∫
(
( )}
)
)
( )
{(
∬
)
(
( )
)
[
( )
( )
∫ (∫
(
)
]}
)( )
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA LA INTEGRAL DOBLE
Si
es continua, siendo D una región elemental de área A(D), existe un punto
(
)
tal que:
∬
(
)
(
)
( )
CÁLCULO DE VOLÚMENES
∬
(
)
El volumen entre dos superficies z=f(x,y) y z=g(x,y) es:
∬ ( (
)
(
Juan José García Sanz
))
1
ÁREAS Y MASAS PLANAS
Si f=1 en la región elemental D:
( )
∬
Si D es el espacio que ocupa una placa cuya densidad en cada punto viene dada por
( ), la masa total de la placa es:
∬
(
)
El promedio de f(x,y) sobre D es:
( )
( )
∬
(
)
FÓRMULA DE GREEN
Si D es un dominio simplemente conexo con frontera una curva C regular a trozos y P, Q, Py
y Qx son continuas en
, entonces:
∮
∬ (
)
Sólo se puedeaplicar si C es una curva cerrada.
CÁLCULO DE ÁREAS
El área A de una región plana D, delimitada por una curva C cerrada, simple y regular a
trozos viene dada por:
∮
∬
CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES DOBLES
COORDENADAS POLARES
P(x,y) es un punto de coordenadas cartesianas en el plano XOY. Las ecuaciones de cambio
son:
ángulo(̅̅̅̅
)
- Jacobiano de la transformación
| (
∬
|
|)|
(
)
Juan José García Sanz
|
|
∬
(
)
2
COORDENADAS POLARES GENERALIZADAS
Cuando el recinto de integración es el encerrado por la elipse de semiejes a y b con centro
), el cambio es:
en (
- Jacobiano de la transformación
| (
|
|
)|
|
|
CASO PARTICULAR
Sea la región D limitada por
es:
u = g(x,y); v = h(x,y)
Por lo que:
x = x(u,v); y = y(u,v)- Jacobiano de la transformación
| (
)|
(
∬
[
|
)
(
,
)
, el cambio de variable
|
)
]
(
( (
∬
[
) (
)) | (
)|
]
SUPERFICIES ALABEADAS
Tipos de representación, dada una superficie S:
1. Forma cartesiana implícita: F(x,y,z)=0
2. Forma cartesiana explícita: z=f(x,y)
3. Forma paramétrica: x=x(u,v), y=y(u,v=, z=z(u,v);
4. Formaparamétrica vectorial: coordenadas del vector de posición en cada punto.
SUPERFICIE REGULAR
Sea la superficie S y el punto
Si se fija u=u0, donde
(
una curva
Si se fija v=v0, donde
(
una curva
Juan José García Sanz
(
)
(
)
(
)
),
(
),
(
(
)
),
(
(
)
),
(
(
), se obtiene
) contenida en S.
(
), se obtiene
) contenida en S.
3
- Vectorestangentes
⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗ es el vector tangente a Cv en P0.
son vectores directores del plano tangente.
⃗
(
Si
⃗⃗ es el vector tangente a Cu en P0.
⃗
y
⃗
⃗
y
) es el vector normal al plano tangente.
son continuas en P0, éste es un punto regular. Si no lo son, P0 es un punto singular.
○ Si S viene dada en forma explícita
z= f(x,y) F(x,y,z) = z- f(x,y)
(⃗⃗ ) esel vector normal al plano tangente en P0.
(⃗⃗ )
(
)⃗
(
⃗⃗
)⃗
- Ecuación del plano tangente en 𝑃 (𝑥
(
) (
)
(
) (
𝑦
𝑧 )
) (
)
SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
Si la curva C está en el plano ZOY, z=z(y) gira alrededor del eje OZ.
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗|
u = ángulo (⃗⃗⃗⃗⃗⃗,OX)
x = v·cos(u)
y = v·sen(u)
z = z(v)
Eliminando u y v:
(√
)
ÁREA DE UNA SUPERFICIE ALABEADA...
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