Integrales de Linea - Sergio Yansen

Sergio Yansen Núñez
Integrales de Línea
Actividad 1
Considere J ÐBß Cß DÑ œ ÐB ? C ß D ß D > #CÑ y la curva G œ G" H G# H G$ H G% donde
G" : < œ #>ß # > #>ß !Ñ ; ! Ÿ > Ÿ "
G# : < œ Ñ œ Ð& ? #>ß# > #>ß ? $ > $>Ñ ; " Ÿ > Ÿ #
G$ : < œ Ñ œ Ð" ß 'ß ? " > #>Ñ ; # Ÿ > Ÿ $
G% : < œ Ñ œ Ð ? & > #>ß ") ? %>ß "" ? #>Ñ ; ! Ÿ > Ÿ "
Esboce el gráfico de G y determine 'G J .< .
Actividad 2
Determine' J † .<
G

donde

J ÐBß Cß DÑ œ Ð/B?#C>" > D ? C > "ß ? #/B?#C>" > D # ? B ? "ß B > #DCÑ
formado por rectas (ver figura)

Actividad 3
En cada caso, determine 'G Ð #/#B>C ? C > "Ñ.B > Ð/#B>C ? B ? "Ñ.C si:
si G À Ñ œ Ð>ß ? #>$ Ñ à > − Ò!ß "Ó

Sergio Yansen Núñez

y G

esta

Sergio Yansen Núñez

Resolución
Actividad 1

"

#

$

' J .< œ ' ? #.> > ' Ð ? ' > #Ð ? $> $>Ñ > $Ð" > (>ÑÑ.> > ' #Ð> > ""Ñ.>
"
G
!
#
%

> '$ ÐÐ'> ? #$Ñ# ? %Ð"" ? #>Ñ ? #Ð%( ? "!>Ñ Ñ.>

Sergio Yansen Núñez

œ 25
#

Sergio Yansen Núñez
Actividad 2
Q œ /B?#C>" > D ? C > "R œ ? #/B?#C>" > D # ? B ? "
T œ B > #DC

Sean

Se tiene que
`Q
`C

œ ? #/B?#C>" ? " œ `R
`B

`Q
`D

œ " œ `T
`B

`R
`D

œ #D œ `T
`C

Por tanto, J es campo grandiente
Sea 0ÐBß Cß DÑ la función potencial,por lo tanto, se tiene que
`0
`B

œ Q ß `C œ R ß `D œ T con lo cual,si consideramos que:

`0

`0

`0
`B

œ Q Ê `B œ /B?#C>" > D ? C > "

`0

Luego, 0 ÐBßCß DÑ œ ' Ð/B?#C>" > D ? C > "Ñ.B
0 ÐBß Cß DÑ œ /B?#C>" > DB ? CB > B > 1ÐCß DÑ
`0
`C

`1

œ ? #/B?#C>" ? B > `C Í
`1

? #/B?#C>" > D # ? B ? " œ ? #/B?#C>" ? B > `C
D# ? " œ

`1
`C

Í1ÐCß DÑ œ D # C ? C > 2ÐDÑ

Luego
0 ÐBß Cß DÑ œ /B?#C>" > DB ? CB > B > D # C ? C > 2ÐDÑ
`0
`D

ß

ß

œ B > #DC > 2 ÐDÑ

Í B > #DC œ B > #DC > 2 ÐDÑ

ß

Í 2 ÐDÑ œ ! Í 2ÐDÑ œ -Sergio Yansen Núñez

Sergio Yansen Núñez
Por tanto
0 ÐBß Cß DÑ œ /B?#C>" > DB ? CB > B > D # C ? C > con lo cual
' J † .< œ 0 Ð$ß #ß &Ñ ? 0 Ð!ß !ß !Ñ œ '" ? /
G
Actividad 3
Consideremos Q œ...