INTEGRAL DEFINIDA

Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para Educación Universitaria, Ciencia y Tecnología
“Universidad Politécnica Territorial del Norte de Monagas Ludovico Silva”
Caripito Edo. Monagas





Integral Definida





Matemáticas II Bachiller:
Profesor(a):Jesús Vicente Galán
Sofia Urriola C.I. 24.124.006




Caripito, 20 de Noviembre 2015
INTEGRAL DEFINIDA

CONCEPTO
La Integral Definida o Integral de Riemann, es un concepto matemático que esencialmente puede describirse como ellímite de una suma cuando el número de sumandos tiende a infinito y cada uno de ellos tiende a cero. Desde el punto de vista histórico la construcción del concepto riguroso de integral esta asociado al cálculo de áreas.

DEFINICIÓN
La integral definida se construye partiendo de la idea de pasar al límite una suma cuando el número de sumandos tiende a infinito y simultáneamente cada uno de lossumandos tiende a cero. Para determinar con precisión esta idea se introducen las siguientes definiciones:
Definición: Dado un intervalo [a, b] llamaremos partición de [a, b] a toda colección de n + 1 puntos P = {x0, x1, · · · , xn} tales que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b. Toda partición P del intervalo [a, b] lo divide en n sub-intervalos [xk−1, xk] de anchuras respectivas ∆xk = xk − xk−1.Definición: Dada una función f(x) definida en el intervalo [a, b], una partición P = {x0, x1, · · · , xn} de [a, b] y dados n puntos ξ = {ξ1, ξ2, · · · , ξn} tales que ξk ∈ [xk−1, xk], se llama suma integral o suma de Riemann de la función f(x) en [a, b] correspondiente a la partición P y a la elección de puntos ξ a la suma siguiente:


Si suponemos que la función es continua1 en [a, b] entonces, por elteorema de Weierstrass, f(x) alcanza su valor máximo Mk y su mínimo mk en cada subintervalo [xk−1, xk], podemos entonces construir las sumas de Riemann correspondientes a dichos valores, obteniendo la suma superior de Riemann de f(x) en [a, b] con respecto a la partición P:


y la respectiva suma inferior:


Realmente sería suficiente con que f(x) fuera continua en cada sub-intervalo de lapartición P.
Es evidente entonces que el conjunto de todas las sumas de Riemann de una función dada en un intervalo, con respecto a una partición concreta P, esta acotado superiormente por U(f, P) e inferiormente por L(f, P).
Definición: Se dice que una función f(x) definida en [a, b] es integrable (en el sentido de Riemann, o simplemente integrable) en [a, b] si el supremo de todas sus sumasinferiores de Riemann coincide con el ´ínfimo de todas sus sumas superiores. A dicho número se le denomina integral definida o integral de Riemann de f(x) en [a, b] y se denota como:


Es posible definir de manera equivalente la integral definida como el limite de las sumas de Riemann de la función en el intervalo cuando el numero de puntos de las particiones consideradas tiende a infinito mientras que laanchura máxima de los sub-intervalos determinados por la partición tiende a cero, siempre que dicho límite sea además independiente de la elección de puntos realizada para construir las sumas de Reiemann. La definición de integral definida se completa añadiendo que se considerará también el caso en el que a > b, y el caso a = b, de la forma:



EJEMPLOS
Las integrales aparecen en muchassituaciones prácticas. Considérese una piscina. Si es rectangular y de profundidad uniforme, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (si se requiere saber su medida). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, las cantidades...