Integral definida

INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRALES DEFINIDAS.

1.-INTEGRAL DEFINIDA.
Sea y = ƒ(x) una función continua en un intervalo [a, b].
Nota.- Para simplificar la demostración se considera positiva, ƒ(x) > 0, en todo punto del intervalo.

Se divide el intervalo [a, b] en "n" subintervalos (no necesariamente de la misma amplitud) por los puntos xo= a, x1, x2, ..., x n-1, xn = b así se dispone de losintervalos cerrados [x0, x1], [x1, x2], ..., [xn-1, xn] de amplitudes respectivas h1= x1- xo, h2 = x2 - x1, ..., hn = xn - xn-1
X

Y

y = ƒ(x)

Ahora bien, como la función es contínua en todo el intervalo [a, b], lo es también en cada uno de los subintervalos, por lo que en cada uno de ellos alcanza un mínimo absoluto, m1,m2, .... , mn, y un máximo absoluto, M1, M2, ..... , Mn. Trazandoparalelas al eje OY por cada punto y paralelas al eje OX por los mínimos absolutos, mi, se obtienen "n" rectángulos, denominados rectángulos interiores (ver figura de la izquierda). La suma de sus áreas es SI = h1 m1+ h2 m2+ ... + hn mn=

∑ hk mk
k =1

n

(1)

De forma similar, trazando paralelas al eje OX por los máximos absolutos, Mi, se obtienen "n" rectángulos, llamados rectángulosexteriores (ver figura de la derecha). La suma de sus áreas es SE= h1M1+ h2M2+ ... + hnMn= ∑ hk M k
k =1 n

(2)

Y
y = ƒ (x ) mi
SI

Y

y = ƒ(x)
Mi

SE
X

hi

hi

X

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consecuencia inmediata de las figuras, es SI ≤ S E Ahora bien, si se considerasen otros nuevos puntos en el intervalo [a, b] se tendrían otros subintervalos y otros valores de lassumas de las áreas de los rectángulos interiores y exteriores, S'I y S'E. Se repite el proceso eligiendo los puntos cada vez más próximos entre sí. Así se formarían dos sucesiones de números reales, las de: - La suma de las áreas de los rectángulos interiores: SI, S'I, S''I, ..., y la - La suma de las áreas de los rectángulos exteriores: SE, S'E, S''E, ..., Simbolizando por m y M al mínimo y máximorespectivamente, se tiene, en cada tipo de subdivisión de donde mh1+ mh2+ ... + mhn ≤ m1h1+ m2h2+ ... + mnhn ≤ absoluto de ƒ(x) en [a, b],

m ≤ m1 ≤ M1 ≤ M; m ≤ m2 ≤ M2 ≤ M ; . . . ; m ≤ mn≤ Mn ≤ M

≤ M1h1+ M2h2+ ... + Mnhn ≤ Mh1+ Mh2+ ... + Mhn
Como h1+ h2+ ... + hn= b - a mh1+ mh2+ ... + mhn = m (h1+h2+ ... + hn) = m (b - a) m1h1+ m2h2+ ... + mnhn = SI M1h1+ M2h2+ ... + Mnhn= SE Porconsiguiente:
m ⋅ (b − a ) ≤ S I + S E ≤ M ⋅ (b − a )

(1) (2)

Mh1+ Mh2+ ... + Mhn= M (h1+h2+ ... + hn) = M (b - a)

(3)

que expresan cualquiera que sea la subdivisión: - La sucesión de la suma de las áreas de los rectángulos interiores, SI, S'I, S''I, ..., está acotada inferiormente. - La sucesión de la suma de las áreas de los rectángulos exteriores, SE, S'E, S''E, ..., está acotadasuperiormente. - Dado que SI ≤ SE, ambas sumas están acotadas. Ahora bien, restando (2) y (1), miembro a miembro: SE- SI= M1h1+ M2h2+ ... + Mnhn- m1h1- m2h2- ... - mnhn SE- SI= (M1- m1) h1+ (M2- m2) h2+ ... + (Mn- mn) hn

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Dado que se ha supuesto que ƒ(x) es continua en [a, b], si se consideran los subintervalos lo suficientemente pequeños, las diferencias Mi - mipueden ser tan pequeñas como se desean. Así si se toman M1- m1<

ε, M2- m2< ε, ..., Mn- mn< ε ⇒

⇒ SE- SI= h1ε + h2ε + ... + hnε = (h1+h2+ ... + hn) ε = (b - a) ε
Luego para un ε lo suficientemente pequeño, SE- SI < (b - a) · ε se puede hacer tan pequeño como se quiera. Simbolizando por S I al extremo superior de la sucesión SI, S'I, S''I, ... y por extremo inferior de la sucesión SE, S'E,S''E, ... como lím (SE- SI) = 0 se cumple

SE

al

SE= SI
(4) De lo que se saca la conclusión que el extremo superior de las sumas de las áreas de los rectángulos interiores y el extremo inferior de las sumas de las áreas de los rectángulos exteriores coinciden. Representando por S el área del trapecio mixtilíneo de la figura, delimitado por ƒ(x), el intervalo [a, b] y las paralelas al eje OX...