Integral Doble y Multiple

Tema 10

Integrales dobles y triples
Hasta ahora se han calculado el ´rea de figuras geom´tricas planas elemena e tales: el rect´ngulo, el c´ a ırculo, el trapecio, etc. Pero, ¿c´mo calcular el ´rea o a de figuras no regulares? Una buena aproximaci´n puede ser la de dividir la o zona en peque˜os rect´ngulos y sumar las ´reas de cada uno de ellos: n a a

Figura 10.1: Mallado para laaproximaci´n del ´rea o a

Esta idea era la que subyac´ en la construcci´n de la integral que vimos ıa o en el tema anterior y que nos permiti´ calcular longitudes de curvas, ´reas o a limitadas por curvas y vol´menes de cuerpos de revoluci´n. En este tema, se u o generaliza el concepto de integral definida a funciones de dos o tres variables, obteniendo las llamadas integrales de ´rea o de volumen,respectivamente. a Esto nos permitir´ calcular el volumen de cuerpos limitados por superficies, a no necesariamente de revoluci´n. Tambi´n permitir´ calcular ´reas mediano e a a te integrales dobles sencillas que en el tema anterior resultaban algo m´s a complicadas. Se empezar´ definiendo la integral sobre un rect´ngulo. a a

206

10.1.

Integrales dobles sobre rect´ngulos a

Sea f (x, y) unafunci´n acotada sobre un rect´ngulo R = [a, b] × [c, d]. Una o a partici´n del rect´ngulo R son dos conjuntos de puntos {xj }n e {yj }m , o a j=0 j=0 satisfaciendo a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b c = y0 < y1 < y2 < . . . < ym = d

es decir, P = P1 × P2 , donde P1 y P2 son particiones de [a, b] y [c, d], respectivamente. Se llama ´rea de R a v(R) = (d−c)(b−a). Toda partici´n divide al rect´ngulo ao a R en n · m subrect´ngulos Rjk = [xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ], j = 1, . . . , n, k = a 1, . . . , m como se observa en la Figura 10.2. o Se llama norma de la partici´n P a P = m´x{v(Rjk ) : j = 1, . . . , n; k = 1, . . . , m} a

Figura 10.2: Una partici´n del rect´ngulo R = [a, b] × [c, d] o a Consid´rese cualquier punto cjk del rect´ngulo Rjk y f´rmese la suma e a o
n−1 m−1

S(f, P ) =j=0 k=0

f (cjk )v(Rjk ) 207

llamada suma de Riemann para f En la siguiente gr´fica hemos representado las sumas de Riemann para la a funci´n f (x, y) = x2 + y 2 tomando como punto cjk el punto medio del o rect´ngulo y el punto inferior del rect´ngulo. a a

2

2
1.5

1.5
1

1
0.5

0.5 0 0 0.25 0.5 0.75 1 0 1 0.75 0.5 0.25
1 0.75 0.5 0.25 0.75 1 0

0 0 0.25 0.5

(a) cjk comopunto inferior

(b) cjk como punto medio

Figura 10.3: Sumas de Riemann Definici´n 10.1 Si la sucesi´n {S(f, P )} converge a un l´ o o ımite S, cuando la norma de la partici´n tiende a 0, que es el mismo para cualquier elecci´n o o de cjk , entonces se dice que f es integrable sobre R y se escribe
n−1 m−1

f (x, y)dxdy = l´ ım
R

P →0

f (cjk )v(Rjk )
j=0 k=0

A continuaci´n se resumenlas propiedades m´s importantes de las funciones o a integrables. Teorema 10.2 Sean f y g dos funciones integrables sobre un rect´ngulo a R. Entonces 208

1. (Linealidad) f + g es integrable sobre R y (f (x, y) + g(x, y))dxdy =
R R

f (x, y)dxdy +
R

g(x, y)dxdy

2. (Homogeneidad) αf es integrable sobre R, para todo α ∈ R, y αf (x, y)dxdy = α
R R

f (x, y)dxdy

3. (Monoton´ Si f(x, y) ≤ g(x, y), para todo (x, y) ∈ R, entonces ıa)
R

f (x, y)dxdy ≤

g(x, y)dxdy
R

4. (Aditividad) Si R = P ∪Q con P y Q dos rect´ngulos cuya intersecci´n a o es una l´ ınea recta o un punto o vac´ entonces ıa, f (x, y)dxdy =
R P

f (x, y)dxdy +
Q

f (x, y)dxdy

5. (Valor absoluto) |f | tambi´n es integrable y se verifica e
R

f (x, y)dxdy ≤

R

|f (x, y)|dxdy

Un primerejemplo de una amplia clase de funciones integrables la proporciona el siguiente teorema Teorema 10.3 Toda funci´n continua sobre un rect´ngulo cerrado R es o a integrable Aunque la clase de las funciones integrables es mucho m´s amplia, el teorema a anterior ser´ suficiente en muchos casos pr´cticos. a a En general, las funciones integrables son aquellas que son continuas salvo en conjuntos...