Integrales Dobles
1.
PROBLEMA
Calcular la integral doble
D
x dA , donde D es la regi´n limitada por y = 2x , y = x2 , por o
los dos m´todos (Barrido vertical y horizontal). e Soluci´n: o
2 2x 2 2x 2
Barrido Vertical:
D
x dA =
x dydx =
0 x2 √ y 4 0
xy
x2 4
dx =
0 √ y
x(2x − x2 ) dx =
4
4 3 dy = 4 3Barrido Horizontal:
D
x dA =
0 y/2
x dxdy =
0
x2 2
dy =
y/2 0
√
y 2 (y/2)2 − 2 2
2.
PROBLEMA
y = x y = 1 x dA donde R : x = 2 y=0
Calcular la integral doble
R
Soluci´n: o
R se puede dividir en dos regiones simples: R1 = {(x, y) ∈ R2 = {(x, y) ∈
2 2
/0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x} 1 /1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x } dA =
R R1 1 x 1
Entonces la integral:
1 xdA +
R2
dA 1 2
dA =
R1 0 2 0
1 x
dydx =
0 2
y
0
1 x
dx =
0 2
x dx =
dA =
R2 1 0
dydx =
1
y
0
dx =
1
1 dx = ln(2) x
⇒
R
1 dA = + ln(2) 2
1
3.
PROBLEMA
Calcular la integral doble
R
ey−4x dA, donde R es la regi´n limitada por las rectas o y + 2x
y = 4x + 2, y = 4x + 5, y = 3 − 2x, y = 1 − 2x. Soluci´n: o u = y − 4x, u = 2, u = 5 v =y + 2x, v = 3, v = 1 ∂(u, v) ∂(x, y) ∂(x, y) ∂(u, v) ∂u ∂x = ∂u ∂y 1 =− 6 ∂v −4 2 ∂x = = −6 1 1 ∂v ∂y
ey−4x dA = y + 2x
R 1
3
5
1 eu 1 − dudv = 6 v 6
1
3
5
eu dudv = v
e5 − e2 6
ln(3)
2
2
4.
PROBLEMA
Use un cambo de variables para evaluar la siguiente integral
D
(x + y)e2y−x dA, en donde D
es el paralelogramo de v´rtices (−1, 1), (0, 0), (2, 1), y(1, 2). e Soluci´n: o u = 2y − x, u = 0, u = 3 v = y + x, v = 0, v = 3 ∂(x, y) 1 ∂(u, v) = −3, =− ∂(x, y) ∂(u, v) 3
3 3
(x + y)e
D
2y−x
dA =
0 0
−
1 3 3 e −1 v eu dudv = 3 2
5.
PROBLEMA
Calcular
R
1 dxdy donde R es la regi´n comprendida entre las curvas y = 2x, y = x, o x2
x2 + y 2 = 1, x2 + y 2 = 4, en el primer cuadrante. Soluci´n: o Utilizando coordenadaspolares: x = r cos(θ) y = r sin(θ) 2
La regi´n R esta limitada por: o r = 1, r = 2 θ = arctan(1), θ = arctan(2) 1 dxdy = x2
R arctan(2) arctan(2) 2 arctan(2)
1 − 2 r cos(θ)2
arctan(2)
r drdθ =
arctan(1)
1 − 2 r cos(θ)2
2
dθ =
1
arctan(1) 1
3 3 sec(θ)2 dθ = tan(θ) 4 4
arctan(1)
=
arctan(1)
3 4
6.
PROBLEMA
Calcular
R
(x2 + y 2 ) dA donde R es la regi´nlimitada por las curvas x2 −y 2 = 1, x2 −y 2 = 9, o u = x2 + y 2 v = 2xy
xy = 1, xy = 4, usando la siguiente transformaci´n: o Soluci´n: o Haciendo el cambio de variable: u = x2 − y 2 , u = 1, u = 9 v = 2xy, v = 1, v = 4 ∂(x, y) 1 ∂(u, v) = 2x2 + 2y 2 , = ∂(x, y) ∂(u, v) 2(x2 + y 2 )
4 9
(x + y ) dA =
R 1 1
2
2
x2 + y 2 1 dudv = 2 + y2) 2(x 2
1
4
9
dudv = 12
1
7.PROBLEMA
1 2x
Calcular
0 x
dydx empleando el siguiente cambio de variable:
x = u(1 − v) y = uv
Soluci´n: o Hallando la nueva regi´n R o y=x u v = u (1 − v) 1 u=0 ∧ v= 2 y = 2x u v = 2u (1 − v) 2 u=0 ∧ v= 3 x=1 u (1 − v) = 1 3
1−v = u=
1 1−v
1 u
∂x ∂(x, y) ∂u = ∂x ∂(u, v) ∂v
1 2x
∂y 1−v v ∂u = =u −u u ∂y ∂v
2 3 1 1−v
dydx =
0 x
1 2
u dudv =
0
1 2
8.PROBLEMA
Calcular el ´rea de la porci´n de superficie z = y 2 + 4x situada sobre la regi´n triangular R a o o del plano X − Y con vertices (0, 0), (0, 2), (2, 0). Soluci´n: o A=
R
1 + (fx )2 + (fy )2 dA
2
Donde la regi´n R = {(x, y) ∈ o
/0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 2 − y}
f (x, y) = y 2 + 4x, fx = 4, fy = 2y
2 2−y 2
A=
0 0
1 + (4)2 + (2y)2 dxdy =
0
(2 − y)
2
17 + 4y 2 = 17 =argsenh 2 4 17 √ √ 3 3 17 17 + − 4 12
17 2y argsenh( √ ) − 2 17
y 17 −y+ 3 12
2
4y 2
+ 17
0
9.
2
PROBLEMA
Hallar el volumen de la regi´n s´lida Q acotada inferiormente por la hoja superior del cono o o 2 2 z = x + y y superiormente por la esfera x2 + y 2 + z 2 = 9. Soluci´n: o En coordenadas esf´ricas, la ecuaci´n de la esfera ser´ e o ıa: ρ2 = x2 + y 2 + z 2 = 9, entonces ρ...
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