Integral Por Partes

Integral por partes
El método de integración por partes se basa en la derivada de un producto y se utiliza para resolver algunas integrales de productos.




Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que será conveniente que la integral de v' sea inmediata.
Las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como u.
Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno ycoseno, se eligen como v'.


Ejercicios









El área entre una curva y el eje x
    Sea f(x)0 en el intervalo [a,b]. Entonces la altura del k-ésimo rectángulo es f(xk) y el área bajo la curva es igual al valor de la Integral Definida de f(x) desde a hasta b.
Observa la siguiente gráfica. 
 
Valor de la integral
definida = 8.0
Área entre la curva y
el eje horizontal = 8.0


El caso en que f(x)<0en el intervalo [a,b]
 
    Si f(x)<0 en [a,b] la situación cambia. En este caso la altura del rectángulo es el negativo del número f(x), puesto que el área del rectángulo (y cualquier área) debe ser positiva.
Observa la siguiente gráfica. 
 
Valor de la integral
definida = -8.0
¡NEGATIVO!
Área entre la curva y
el eje horizontal = 8.0

 
   Como hemos visto, el área entre la curva y el eje x nosiempre es lo mismo que la integral definida. Depende de si f >0 o si f<0 en el intervalo de interés. Enseguida definiremos de una vez por todas el área entre la gráfica de y=f(x) y el eje x en un intervalo dado. 
 
 
    En el siguiente ejemplo verás el cálculo del área entre una curva y el eje x. 
Definición de área:
Sea f(x) continua en [a,b]. El área entre la gráfica de y=f(x) y el eje x en elintervalo [a,b] se define como la integral definida en [a,b] del valor absoluto de f(x). 
Dentro del intervalo
(0,1.5), las curvas:
y = 1 - x3 y y = 0
se intersectan en x = 1.
f(x)= 1 - x3 ; g(x)= 0
El área entre las curvas
en cada subintervalo es:
{0.75, 0.515625}

 
    Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado.
El área total entre las curvas es: 0.75 + 0.515625 = 1.26563

Elárea entre dos curvas
    En esta sección estudiaremos como calcular el área entre dos curvas.
    El problema es el siguiente: Dadas dos funciones f y g , encontrar el área contenida entre sus gráficas en el intervalo [a,b] .
    Para ilustrar el problema y el procedimiento, observa el siguiente ejemplo. 
 
f(x)= 3x3 - x2 - 10x
g(x)= - x2 + 2x



 
    Utilizaremos el mismo procedimiento que se usópara encontrar el área bajo una curva. Se aproximará el área entre las dos curvas haciendo una partición del intervalo [a,b] en n subintervalos de longitud (b-a)/n. En cada subintervalo escogemos un valor particular de x, al que llamaremos x*.
 
1. Evaluamos f(x*) y g(x*) y formamos rectángulos de base (b-a)/n y de altura f(x*)-g(x*) (si f(x*)>g(x*)).
2. El área de dicho rectángulo es(f(x*)-g(x*))((b-a)/n). Al sumar las áreas de los rectángulos obtenemos una aproximación al valor del área entre las curvas.
3. Tomando el límite cuando n--->Infinito obtendremos el valor exacto del área buscada.
4. Por definición, el límite de la sumatoria de Riemann es la integral definida de f(x)-g(x) en [a,b].
5. Si g(x)>f(x) en alguna parte del intervalo, entonces la altura de los rectánguloses g(x*)-f(x*).
 
   En cualquier caso la altura de los rectángulos es |f-g| (valor absoluto de la diferencia).
Área entre dos curvas:
El área entre las gráficas de y=f(x) , y=g(x) en el intervalo [a,b] está dado por el valor de la Integral Definida de |f-g| en [a,b]. 
    Enseguida se calculará el área de la región entre dos curvas.
Dentro del intervalo (-2,2), las curvas:
y=2(1-x2) y y=x2-1 
se intersectanen x = -1, 1. 

f(x)=2(1 - x2) ; g(x)=x2-1 

El área entre las curvas en cada subintervalo es: {4, 4, 4}
Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado.
El área total entre las curvas es: 
4 + 4 + 4 = 12

 

 
Dentro del intervalo (-1,1.5), las curvas: 
y = -x2/3+1 y y = x2/3 
se intersectan en x = 1. 

f(x)= -x2/3+1 ; g(x)=x2/3-1
El área entre las curvas en cada subintervalo...