integral

Cap 3 La Integral Definida

MOISES VILLENA MUÑOZ

3
3.1 DEFINICIÓN
3.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD
3.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
3.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
3.4.1
3.4.2
3.4.3
3.4.4
3.4.5
3.4.6
3.4.7
3.4.8

PROPIEDAD
PROPIEDAD
PROPIEDAD
PROPIEDAD
PROPIEDAD
PROPIEDAD
PROPIEDAD
PROPIEDAD
INTEGRAL

DE
DE
DE
DE
DE
DE
DE
DE

LINEALIDAD
ADITIVIDADCOMPARACIÓN
ACOTAMIENTO
SUSTITUCIÓN
SIMETRÍA
PERIODICIDAD
LA DERIVADA DE UNA

Objetivo:
Se pretende que el estudiante calcule integrales
definidas aplicando teoremas y propiedades

43

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Cap 3 La Integral Definida

3.1 DEFINICIÓN
Ya se ha mencionado que un problema a resolver es la determinación
del área bajo una curva y = f (x ) .

El cálculo integralproporciona las herramientas para dar solución a
esta problemática.
Dividiendo la región en " n " rectángulos. Observe la figura:

Las bases de los rectángulos son de dimensión no necesariamente
igual. Las alturas de cada rectángulo estarían dadas por el respectivo valor
que se obtiene en la función f con el punto (observe la figura) que se ha
denotado como x . El área del primer rectángulosería A1 = f ( x1 ) ∆x1 , el
área del segundo rectángulo sería A2 = f ( x 2 )∆x2 ; y así , el área del
n-ésimo rectángulo sería An = f ( x n ) ∆xn .

xn

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Observe que si tomamos x1 = x1 , x 2 = x2 , x 3 = x3 , …, x i = xi , se
tienen rectángulos circunscritos; en cambio si se toma x1 = x0 , x 2 = x1 ,

x 3 = x2 , …, x i = xi −1 setendrían rectángulos inscritos.
La suma de las áreas de los n rectángulos sería:

( )

( )

( )

( )

f x1 ∆x1 + f x 2 ∆x2 + f x 3 ∆x3 + K + f x n ∆xn
Que de manera abreviada tenemos:

∑ f (x )∆x
n

i

i

i =1

Bien, lo que se quiere es el área de la región, por tanto se debería
considerar una suma de una cantidad muy, pero muy grande de
rectángulos, es decir una sumainfinita. Por tanto, el área de la región
estaría dada por:

∑ ( )

⎡ n
⎤
A = lím ⎢
f x i ∆xi ⎥
n →∞
⎣ i =1
⎦
De aquí surge la definición de Integral Definida.

Sea f una función que está definida en el intervalo [a, b] .
Al lím ⎡∑ f (x i )∆xi ⎤ se le denomina la integral definida (o
n →∞ ⎢
⎥
⎣ i =1
⎦
integral de Riemann) de f de " a " a " b " y se denota de la
n

b

siguientemanera: ∫ f ( x)dx .
a

Además, si existe este límite decimos que f es integrable
en [a, b] .
Ahora, con el siguiente teorema dejamos sentado el hecho de cuando
una función es integrable.

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3.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD

Si f es acotada en [a, b] y si f es continua a excepción de
un número finito de puntos, entonces f esintegrable [a, b] .
En particular si f es continua en todo [a, b] entonces es
integrable en [a, b]
Ejemplo
Hallar el área bajo la curva f ( x ) = x en
2

[1,3]

SOLUCIÓN:
Aplicando la definición (Suma de Riemann) se tiene:
n

A = lím

n →∞

∑ f ( x )∆x = lím [ f ( x )∆x + f ( x )∆x
i

i =1

i

n→∞

1

2

1

2

+ f ( x 3 ) ∆x3 + K + f ( x n )∆xn ]

PRIMER MÉTODO.RECTANGULOS CIRCUNSCRITOS.
Escogemos x 1 = x1 , x 2 = x 2 , x 3 = x3 , …, x i = xi
Representando la región, tenemos:

y = x2

x 0 x1 x 2
{{
∆x

∆x

xn

{
∆x

Ahora bien, observe que si tomamos a todas las particiones de igual dimensión, tendríamos

∆x =
y

46

b − a 3 −1 2
=
=
n
n
n

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x0 = a = 1
x1 = x 0 + ∆x = 1 +

2n

4
⎛2⎞
x 2 = x1 + ∆x = x 0 + 2∆x = 1 + 2⎜ ⎟ = 1 + ,
n⎠
n
⎝

6
⎛2⎞
x 3 = x 2 + ∆x = x 0 + 3∆x = 1 + 3⎜ ⎟ = 1 +
n
⎝n⎠
M
⎛2⎞
x i = x 0 + i∆x = 1 + i∆x = 1 + i ⎜ ⎟
⎝n⎠
Entonces:

A = lím [ f (x1 )∆x + f (x 2 )∆x + f (x 3 )∆x + L f (x n )∆x ]
n →∞

n

= lím

n →∞

= lím

n →∞

∑ f ( x )∆x
i

i =1
n

∑
i =1

2
n →∞ n

= lím

2

2⎞ 2
⎛
⎜1 + i ⎟
n⎠...