INTEGRAL

cálculo integral y el cálculo diferencial.

Por: Miguel Solís Esquinca
Profesor de tiempo completo
Universidad Autónoma de Chiapas

En esta sección presentamos la relación que guardan la función derivada y la integral, convirtiendo a la integral en la operación inversa de la derivada. Hasta ahora, hemos considerado al área bajo una curva como un significado de la integral, expresadosimbólicamente como

= “área bajo la curva desde a hasta b” (Figura 4.1)


Figura 4.1

¿Qué sucede cuando uno de los límites de integración no es una constante sino una variable? Tendríamos que el área en cuestión sería también variable y dependería del valor de este límite variable de integración.

Imaginemos que queremos calcular el área bajo la curva desde 0 hasta x (). El áreadependería de los valores que tomara x, esto es, el área sería una función de la variable x y podríamos expresarla como A(x) (Figura 4.2).

A(x)


Figura 4.2

A(x) describe los valores del área bajo la curva f(x) en distintos momentos. Por ejemplo, A(x1) y A(x2) se puede considerar que representan dos valores del área en distintos momentos para los cuales A(x1) sucedió antes que A(x2) (Figura4.3).


Figura 4.3

Utilizando esta idea de “área variable”, regresemos a la situación de calcular el área bajo la curva desde a hasta b, esto es:. Pensemos que a y b son dos de estos momentos para los cuales el área toma los valores A(a) y A(b) y donde A(a) sucede antes que A(b), digamos que A(a) representa el valor inicial del área y A(b) el valor final. Para calcular el valor delárea bajo la curva desde a hasta b debemos considerar el valor inicial y el valor final del área y efectuar la resta A(b) - A(a) (Figura 4.4).


A(b)

A(a)

A(b) – A(a)
Figura 4.4

La resta A(b) - A(a) expresa el área acumulada entre a y b, en ese sentido la integral debe cumplir con la siguiente relación



Pero, ¿qué relación guardan las funciones A(x) (función área) y f(x)?A(x), como lo dijimos anteriormente, describe valores del área bajo la curva f(x) en distintos momentos. La variación de estos valores es expresada por la diferencia

A(x+h)-A(x).

Geométricamente, la diferencia de áreas, resulta ser aproximadamente el área de un rectángulo de base h y altura f(x).

En la Figura 4.5 presentamos una secuencia gráfica considerando, primero el momento delárea A(x), después el momento del área A(x+h), inmediatamente la resta de ambas áreas y, finalmente, la identificación del rectángulo de base h y altura f(x).


A(x)


A(x+h)


A(x+h) – A(x)

Rectángulo f(x)h
Figura 4.5

El área del rectángulo f(x)h es aproximadamente la variación o incremento del área A(x). Entonces,



donde se lee “es aproximadamente igual a”

Larazón de cambio del área se obtiene al dividir la variación entre h



y considerando el límite cuando h tiende a cero ()



El lado izquierdo de la igualdad anterior es el límite de un cociente y no es mas que la definición de la derivada de la función A(x). De acuerdo a la geometría del área bajo la curva, hemos encontrado que la relación entre las funciones A(x) y f(x) es precisamenteque f(x) es la derivada de A(x), f(x)=A´(x).

En la relación , si llamamos a , el valor del área queda expresado de la siguiente manera:

para cualquier x en [a, b]

Y, sumándole al valor del área A(a) todos los valores de las áreas f(x)dx desde a hasta b encontramos el valor acumulado del área A(b):



Por otra parte, la resta A(b)-A(a) determina la acumulación de área cuando xestá considerada en el intervalo [a, b]:



Así, la igualdad A´(x)=f(x) relaciona la derivada y la integral expresada por



(La expresión “” es sólo una notación de la resta . Así cualquier función G(x) que anteceda a la barra “”, con los valores a y b, indica que hay que evaluar la función G(x), respectivamente, en a y b: G(a) y G(b) y efectuar la resta G(b)-G(a)).

Por la...