Integral

∫u dv = v *u - ∫ v du

Separas al (ln x)^2 como lnx * lnx.

Luego te queda la integral:

∫ln x * ln x dx.

Elegís u=ln x, entonces derivando te queda du=1/x dx.
Elegís dv=lnx dx entoncesintegrando te queda v=x * (ln x - 1).
Listo ahora reemplazas esto en la formula de integración por partes

∫u dv = v *u - ∫ v du=lnx * x*(lnx-1) - ∫ x*(lnx-1) * 1/x dx

x se cancela con 1/x=lnx * x*(lnx-1) - [ ∫ (lnx-1) dx]

=lnx * x*(lnx-1) - [ ∫ lnx - ∫ dx]

=lnx * x*(lnx-1) - [(x*(lnx-1)) - x ]

=lnx * x*(lnx-1) - [x [ (lnx - 1)-1]

=lnx * x*(lnx-1) - [x (lnx - 2) ]=x*[ lnx *(lnx-1) - (lnx - 2) ]

=x*[ lnx^2 - lnx - lnx + 2 ]

=x*[ lnx^2 -2 lnx + 2 ]

=x*[ (lnx - 2) * lnx + 2 ] + C

Lo hice paso a paso para ver si encontrabas el error, queseguramente fue algun despeje...suele pasar.


① ∫e^x sen x dx


➊ Resolvemos Integral por Partes

Donde:

u = e^x..............dv = sen x

du = e^x dx........v = - cos x



➋ UtilizamosFormula

∫u dv = u v - ∫v du


∫ e^x sen x dx =


- e^x cos x - ∫- e^x cos x dx


- e^x cos x + ∫e^x cos x dx



➌ Volvemos a Integrar

Donde:

u = e^x...........dv = cos x

du= e^x dx.....v = sen x


∫ e^x sen x dx = - e^x cos x + e^x sen x - ∫e^x sen x dx



➍ Como puedes vez llegamos a la Integral Original, juntamos las Integrales de lado Izquierdo de laigualdad por lo cual la Integral que tienes de lado derecho mandala al lado izquierdo pero con signo contrario y nos queda

∫e^x sen x dx + ∫ e^x sen x dx = - e^x cos x + e^x sen x



➎ SumamosIntegrales y nos queda

2∫e^x sen x dx = - e^x cos x + e^x sen x



➏ El Número que multiplica a la integral lo pasamos dividiendo y nos queda


∫ e^x sen x dx =


- e^x cos x + e^x sen x----------------------------------
...............2



➐ Factorizamos

∫ e^x sen x dx =

[½ ] e^x [sen x - cos x ]


Saludos



Listo Felinopo, correccion hecha, error de dedo...