integral


I. Cálculo Diferencial

I.1. Evolución Histórica

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución.
En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:
El problema de la tangente a unacurva (Apolonio de Perge)
El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)
En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.
Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Buenaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo aldescubrimiento del cálculo infinitesimal.
Las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.
Se sintetizo en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas para manipular lasderivadas y mostraron que ambos conceptos eran inversos.
Newton desarrolló un método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era lavelocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo.
Leibniz, formuló y desarrolló el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Isaac Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad, viendo el sentido de su correspondencia con la pendientede la recta tangente a la curva en dicho punto.
Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos de derivada  y el símbolo de la integral ∫.





I.2. Concepto

La derivada se aplica en casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Esuna herramienta de cálculo fundamental, que se refiere a como la pendiente de la recta tangente, se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir una recta tangente.
Las funciones que son diferenciables (derivables en una sola variable), son aproximables linealmente, no tienenderivada en todos o en alguno de sus puntos.
Una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso.
Las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.

En terminología clásica, la diferenciación  manifiesta el coeficiente en que unacantidad  cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad.
Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número  relativamente pequeño.  Representa un pequeño cambio en, el cual puede ser positivo o negativo.
La pendiente de la recta que pasa por los dos puntos  y  es:

La derivada de  en,  es entonces el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneassecantes se aproximan a la línea tangente:
.
Calcular la derivada consiste en operar en el numerador, de manera que se pueda cancelar la  del denominador, pero hay reglas generales que facilitan su resolución.
REGLAS DE DERIVACIÓN
Suma y Resta
1. (f + g)’ = f’ + g’
2. (f – g )’ = f’ – g’
Producto y cociente
3. (fg)’ = f’g+fg’
4.
Producto por un número
5. (af)’ = a . f’
Composición...