Integrales Aplicaciones

reEjercicios de Análisis Matemático Integrales. Aplicaciones del cálculo integral
1. Sea f .x/ D ex sen x . Justifica que f es integrable en Œ0; 1 y se verifica la desigualdad x 1 0 6 0 f .x/ dx 6 e 1.

Solución. Como 0 6 sen x 6 x para todo x 2 Œ0; 1, se sigue que 0 6 f .x/ 6 ex 6 e para todo x 20; 1. En consecuencia la función f está acotada y es continua en Œ0; 1 n f0g. Concluimos que fes integrable en Œ0; 1. Alternativamente, podemos definir f .0/ D 1 con lo que cual resulta continua en todo el intervalo Œ0; 1. Finalmente, como la integral conserva el orden, tenemos que:
1 1

0 6 f .x/ 6 e

x

8x 2 Œ0; 1 ÷

06
0

f .x/ dx 6
0

ex dx D e 1

©
2. Sea f una función continua y positiva en Œa; b con todo x 2 Œa; b. Solución. Sea x 2 Œa; b. Pongamos
b xf b afb a f .x/ dx b xf

D 0. Prueba que f .x/ D 0 para
x

Alternativamente, la función F.x/D a f .t/ dt es derivable con F 0 .x/Df .x/>0, lo que implica que F es creciente en Œa; b. Como F.a/DF.b/D0, deducimos que F.x/D0 para todo x 2 Œa; b, lo que implica que f es la función nula en Œa; b. © 3. Justifica las desigualdades: a/ 1 < 6
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> 0. Deducimos que a f D 0. Como f > se verifica que > 0,por lo que 0 D es continua en Œa; b, la función F.x/ D es derivable en Œa; b y F 0 .x/ D f .x/ para todo x 2 Œa; b. Evidentemente, F 0 es la función nula, luego f .x/ D 0 para todo x 2 Œa; b.
x

D

b af x a f

x a f

x a f

C

. Como f .t/ > 0 para todo t 2 Œa; b,

0

dx 1 1 < I b/ p < 10 C x 5 10 2

1

0

x 9 dx 1 1 nC1 1 < I c/ < log < : 10 C x 10 nC1 n n

Solución.El resultado obtenido en el ejercicio anterior nos dice que si f es una función continua, b positiva y no idénticamente nula en un intervalo Œa; b, entonces se verifica que a f .x/ dx > 0. Las desigualdades propuestas son todas consecuencia de este resultado. 1 1 1 1 a) Para 0 6 x 6 2 las funciones f .x/ D y g.x/ D son continuas, 10 10 C x 10 C x 12 2 2 positivas y no idénticamente nulas en Œ0;2, luego 0 f .x/ dx > 0 y 0 g.x/ dx > 0. Esto prueba las desigualdades pedidas. 1 1 1 c) Dado n 2 N, para todo x 2 Œn; n C 1 se tiene que < < . Razonando com antes, se nC1 x n sigue que: 1 D nC1
nC1

 n 1 Deduce de la última desigualdad que e D lKm 1 C n . ı

n

1 dx < nC1

nC1

n

1 nC1 dx D log < x n

nC1

n

1 1 dx D : n n

Lo que prueba la desigualdad del enunciado.Multiplicando por n dicha desigualdad se obtiene:   n nC1 nC1 n < n log D log < 1: nC1 n n
Dpto. de Análisis Matemático Universidad de Granada

Ejercicios de Análisis Matemático n

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4. Calcula los límites de las siguientes sucesiones expresándolas como sumas de Riemann. 1˛ C 2˛ C


C n˛ ; .˛ > 0/ n˛C1 nC1 nC2 nCn e/ xn D 2 C 2 C


C 2 n C1 n C4 n C n2  1=n .2n/! i / xn D n!nn a/ xnD Solución.  ˛ 1 Pn k que es una suma de Riemann de la función f .x/ D x ˛ a) Tenemos que xn D n kD1 n para la partición del intervalo Œ0; 1 dada por los puntos xk D k (0 6 k 6 n). Pues, claramente, n n X se tiene que xn D f .xk /.xk xk 1 /. Como ˛ > 0, la función f es integrable en Œ0; 1, y
kD1

Por el principio de las sucesiones encajadas, deducimos que log  n tomando exponenciales, quee D lKm 1 C 1 . ı n



nC1 n

! 1, lo que implica,

©

deducimos que:

1 n!1

lKm fxn g D ı

0

x ˛ dx D

1 : ˛C1

e) Podemos escribir: xn D

kD1

n n X nCk 1X D n2 C k 2 n

1Cx que es una suma de Riemann de la función f .x/ D 1Cx 2 para la partición del intervalo Œ0; 1 dada

1C k n  2 k kD1 1 C n

por los puntos xk D deducimos que:

k n

(0 6 k 6 n). Comola función f es integrable en Œ0; 1 y .Pn / D
1

1 n

! 0,

n!1

lKm fxn g D ı

0

p 1  D arc tg 1 C log 2 D C log 2: 2 4 i) Tomando logaritmos tenemos que: log.xn /D

1Cx dx D 1 C x2

1

0

1 dx C 1 C x2

1

0

x dx D 1 C x2



1

1 log..2n/!/ log n!nn D log n!.n C 1/


.2n/ n log n log n! D n n n 1 1X nCk D .log.n C 1/ C log.n C 2/ C


C log.2n/ n...