Integrales Aplicadas

CAPITULO III
LA DERIVADA

3.1 Definición de la derivada
Sea una función y = f(x) definida sobre cierto intervalo (a; b). Fijemos cualquier valor x de dicho intervalo y, en el punto x, demos al argumento un incremento h tal que el valor x + h pertenezca también al intervalo (a; b). Definición Se denominará incremento de la función y = f(x) en el punto x, correspondiente al incremento delargumento h, el número k  f ( x  h)  f ( x) (1) Tiene lugar la siguiente afirmación: para que la función y = f(x) sea continua en el punto x es necesario y suficiente que el incremento k de esta función en el punto x, correspondiente al incremento del argumento h, sea infinitesimal cuando h  0. Esta afirmación permite expresar la condición de continuidad de la función y = f(x) en el punto x enforma nueva, a saber: la función y = f(x) es continua en el punto x si el incremento k de esta función en el punto x, correspondiente al incremento del argumento h, es infinitesimal para h  0, es decir, si lim k  lim [ f ( x  h)  f ( x)]  0 (2)
h0 h0

Teniendo en cuenta que h ≠ 0, consideremos, en un punto fijado x, la razón entre el incremento k de la función en este punto y el incrementocorrespondiente del argumento h k f ( x  h)  f ( x ) (3)  h h La razón (3) se denominará relación de diferencias en el punto dado x. Puesto que el valor x se cree fijado, la relación de diferencias (3) es función del argumento h. Esta función está definida para todos los valores del argumento h pertenecientes a cierto entorno bastante pequeño del punto h = 0, excepto el propio punto h = 0. Deeste modo, tenemos derecho de considerar el problema de la existencia del límite de dicha función cuando h  0. Definición Se denomina derivada de la función y = f(x) en el punto fijado x el límite de la relación de diferencias (3) para h  0. La derivada de la función y = f(x) en el punto x se denotará por el símbolo y´(x) o f ´(x). así pues, por definición k f ( x  h)  f ( x ) . (4) f '( x) lim  lim h0 h h0 h Nótese que si la función y = f(x) está definida y tiene derivada para todos los x del intervalo (a; b), esta derivada será función de la variable x también definida sobre el intervalo (a; b).

La condición (2) se denominará forma de diferencias de la condición de continuidad de la función y = f(x) en el punto x.

3.1.2 Interpretación geométrica de la derivada
Uno de losprincipales problemas que condujeron al desarrollo del cálculo, fue el de encontrar la pendiente de la línea tangente a una curva f(x) en cualquier punto del intervalo (a; b). Pasemos ahora a considerar este problema. Supóngase que f(x) es la gráfica de una función. A una recta determinada por dos puntos sobre una curva, se le llama línea secante de dicha curva. Sea x  D y sea h  0 un número talque (x + h)  D; entonces los puntos M(x, f(x)) y P(x + h, f(x + h)) son dos puntos sobre la curva, con la particularidad de que la secante MP de f(x), que pasa por M y P, no es perpendicular al eje sobre el cual está graficado el dominio D. Usando la fórmula de la pendiente, tenemos que la pendiente de la secante es f ( x  h )  f ( x ) f ( x  h)  f ( x ) MP   ( x  h)  x h Si dada x  D,podemos hacer que el valor de

LA DERIVADA

88 Solución

f ( x  h)  f ( x ) , h se acerque a un número m(x) tanto como deseemos, con sólo hacer h suficientemente pequeña, llamaremos a m = {(x, y) / y = m(x)}. La función pendiente de la gráfica de f(x). Definimos la línea tangente a la gráfica de f(x) en el punto M(x, f(x)) como la línea que pasa por M y tiene pendiente igual a m(x).

( x h) 2 f ´( x)  lim
h 0

1  ( x  h) 4 h
( x  h) 4 



x2 1  x4

x4 1  x4    
   

 lim

1  ( x  h) 4

h 0

 ( x  h) 2 x2 h   1  ( x  h) 4 1  x4 

 lim

( x  h) 4 (1  x 4 )  x 4 (1  ( x  h)4 ) h 0  ( x  h) 2 x2 h(1  x 4 )(1  ( x  h)4 )    1  ( x  h) 4 1  x4 
   

 lim

h(4 x3  6hx 2  4h 2 x  h3 ) h 0  ( x  h)...