Integrales De Linea

INTEGRALES DE LINEA

1. INTRODUCCION

En este capítulo se estudiara las integrales de línea de campos escalares a lo largo de una curva seccionalmente regular con respecto a la longitud de arco llamadas también integrales curvilínea de primera especie o genero y las integrales de línea de campos vectoriales a lo largo de una curva seccionalmente regular llamada también integralcurvilínea de segundo genero o especie.
Para ello es necesario tener en cuenta los conceptos de campo escalar, campo vectorial, derivada y la diferencial de un campo escalar y campo vectorial, el operador Nabla, gradiente de un campo escalar, divergencia, rotacional de un campo vectorial y las propiedades referentes al cálculo vectorial. Asimismo la parametrizacion de una curva en R2 y R3 , curvaregular, longitud de arco, parametrizacion de una curva en términos de longitud de arco como parámetro

2. CURVAS PARAMETRIZADAS

A menudo nos interesará ver una cierta gráfica como si fuese el rastro que deja un móvil que se desplaza por el plano. Esto lo podemos hacer mediante las llamadas curvas parametrizadas
Una curva parametrizada en el plano es un par de ecuaciones dada por:
C: x=f(t) ,y=g(t) , t∈a,b, A t se le llama parámetro de la curva, y resulta útil pensar en él como en el tiempo.

Nota 1 Es importante especificar el intervalo de definición del parámetro, pues en caso contrario nos restringiremos a una región u otra de la curva. Cuando no digamos nada, entenderemos que el parámetro puede tomar cualquier valor real para el que estén definidas f(t) y g(t).
Entonces, encada instante la partícula móvil tendrá unas coordenadas (x, y) = (f(t), g(t) Observemos que a medida que vamos tomando t mayores, nos vamos desplazando según un cierto sentido sobre la curva C. Este sentido de recorrido se llama orientación de la curva C.

3. INTEGRAL DE LINEA SOBRE CAMPOS ESCALARES CON RESPECTO A LA LONGITUD DE ARCO.

Definición 3.1. Sea f:Rn→R un campo escalar definiday acotada sobre una curva regular C parametrizada por la función α: [a,b]→Rn talque α t=(x1 t,x2t,…, xn (t)) y α ([a,b])=C es la traza de α.
Sea s (t)= atα (u)du la función ds=α (t)dt es el diferencial de longitud de arco.
La integral de línea de la función f a lo largo de la curva C, con respecto a la parámetro longitud de arco está definida por:

Cf ds=abfα t α' tdt
En particularcuando la curva esta definida en R2 y la funcion esta dada por z= f(x,y) , la integral de linea se define asi,


EJEMPLO 1

Solución:

, aplicando el caso de la integral de línea para R2 , la integral queda así,

3.2 Propiedades

Sea α: [a,b]→R2 una curva regular talque α a,b=C es la traza de la función. Sean f,g funciones definidas sobre un conjunto abierto U que contiene a lacurva C, entonces se cumple:

3.

4. Dada la curva C con una orientación determinada, se denota por –C o C- la misma curva con una orientación opuesta y se cumple :
-Cfds=-Cfds
5. C∪(-C)fds=Cfds+-Cfds=0

EJEMPLO 2

SOLUCION:
Como las curvas están parametrizadas , se procede a determinar ds para cada una de las curvas y luego se aplica la propiedad (3):

EJEMPLO 3:

Hallardonde en la curva C:

SOLUCION
Aplicando la definición de la integral de línea de primera especie se tiene que calcular los siguientes datos:

Reemplazando

Por lo tanto

EJEMPLO 4.

SOLUCION

4. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DE LINEA DE PRIMERA ESPECIE

4.1 MASA DE UNA CURVA

Sea donde es la densidad lineal de un punto variable (x,y,z) de la curva C
Entonces la masa dela curva C es igual a:

4.2 CENTRO DE GRAVEDAD DE MASA DE UNA CURVA.

Las coordenadas del centro de gravedad están dadas por: de una curva C y se expresan de la siguiente manera:

4.3 MOMENTO ESTATICO Y MOMENTO DE INERCIA
- El momento estático o primer momento de una curva C respecto a la recta L se define como:
ML=dx,y,zδ(x,y,z)ds
Donde d(x,y,z) es la distancia del punto (x,y,z)...