integrales de linea


CALCULO VECTORIAL
UNIDAD 5
ING. CARLOS PATIÑO CHAVEZ
ALUMNO. ABEL PUENTE VAZQUEZ
1; INTEGRAL DE LÍNEA.
2; INTEGRALES ITERADAS.
3; APLICACIÓN A AREAS.
4; COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS.


INTEGRALES DE LÍNEA
Consideremos la función vectorial continua r: [a; b] Rn con r (t) =(x1(t);x2(t);:::;xn(t)): La imagen generada por r se dice que es la curva determinada por r y que une los puntos A = r(a) y B = r(b)
Si r(a) = r(b); la curva se dice cerrada.
Si r es invectiva en [a;b]; la curva se dice simple.
Las curvas cerradas simples se llaman curvas de Jordán.

Curva curva simple curva cerrada simple

Laderivada de r se define de la manera usual
R’ (t) = 1(r), x’2(t),……x’n(t))
Sea r(t) la descripción de una curva C en el plano o en el espacio. El parámetro t podría ser tiempo, ángulo, longitud de arco, coordenada x; etc. Decimos que la curva C es regular en [a; b] si r’ (t) es continua en [a; b] y r’ (t) es diferente 0 para todo t € [a;b] (es decir lascomponentes de r no se anulan simultáneamente). También decimos que una curva C es regular a trozos en [a; b] si es regular en cada subintervalo de alguna partición finita de [a; b].
En R2 escribimos r (t) = (x(t);y(t)) o también r(t) = x(t) i + y(t) j; con t € [a;b]² En R
En R2 escribimos r(t) = (x(t);y(t);z(t)) o también r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k , con t € [a;b]
Una función vectoriales de clase C1 si las derivadas de sus componentes son continuas.

Ejemplo:
. Halle la longitud de la curva dada por la parametrización
α (t)=t i + 4/3 t3/2 j +1/2 tk’, t entonces (0,2).
Solución:
α'(t)=(1,2t1/2,1/2), t entonces (0,2).
La curva α será de clase c1 y, por tanto es rectificable.
ll α’r2 = 1 + 4t + 1/2 = 1/2r2 =5 + 16t
la longitud de α será:
s= la integral de0a 2 ll α (t) ll dt=
=a la integral 0 a 2. 1/2con raíz de 5+16dt=1/2*1/6+2/3(5+16)3/2]02 =1/48(37r237-5 r25)


INTEGRALES ITERADAS
Definición- Se llaman integrales iteradas a la realización sucesiva de por lo menos 2 procesos de integración simple considerando las diferenciales dx y dy.
Es importante tomar en cuenta en qué posición vienen dados los límites de las integrales en cuestión parasaber en qué orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va integrar primero considerando la diferencial dx o la diferencial dy o viceversa.


Área por doble integración


Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectúan las integracionesprimero respecto a y, y después respecto a x; es decir







Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales.
Integrales dobles como volúmenes
Cuando f(x ,y) es positiva podemos interpretar la integral doble de f sobre una región rectangular R como el volumen del prisma sólido limitado abajo por R yarriba por la superficie z = F(x, y). Cada termino f (xk, yk)
"Ak en la suma Sn = k,yk)

"Ak es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen de la porción del sólido que está directamente arriba de la base "Ak. La suma Sn aproxima entonces a lo que llamamos volumen total del sólido. Definido este volumen como

Volumen=l ms f(x, y) dA(3)


Coordenadas Polares
En un espacio R2, un dominio de integración que tenga una simetría circular es muchas veces susceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformación:
F(x,y)...