Integrales dobles

Integrales Dobles
Una integral doble es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real, por ejemplo, f (x, y) ó f (x, y, z).
De la misma manera en que la integral de una función positiva f (x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo.
La doble integral de una funciónpositiva f (x, y) de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo.
La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función ylos diferenciales en orden de ejecución. El Dominio de Integración se representa simbólicamente para cada diferencial sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:

Es importante destacar que es imposible calcular la antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen
Unaforma relativamente sencilla de definir las integrales doble es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación xn + 1 = f(x1,..., xn) y una región T en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función f (si T es una región cerrada y acotada y f está definida en la región T). Por ejemplo, si n = 2, el volumensituado entre la superficie definida por x3 = f(x1,x2) y una región T en el plano x1x2 es igual a alguna integral doble, si es que la función f está definida en región T.
Se puede dividir la región T en una partición interior Δ formada por m subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenida en T. La norma | | Δ | | de esta partición está dada por la diagonal más largaen las m subregiones.
Si se toma un punto (x1i,x2i,...,xni) que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones Δx1iΔx2i...Δxni para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por xn + 1 = f(x1,...,xn) y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:

Entonces se puede aproximarla magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuación xn + 1 = f(x1,...,xn) y la región T mediante la suma de Riemann de las magnitudes de los m espacios correspondientes a cada una de las subregiones:

Esta aproximación mejora a medida que el número m de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar elnúmero de subregiones disminuirá la norma de la partición:

El significado riguroso de éste último límite es que el límite es igual L si y sólo si para todo existe un δ > 0 tal que

Para toda partición Δ de la región T (que satisfaga | | Δ | | < δ), y para todas las elecciones posibles de (x1i,x2i,...,xni) en la enésima sub-región. Esto conduce a la definición formal de una integralmúltiple.
Si el límite existe se dice que f es integrable con respecto a T. Si f está definida en una región cerrada y acotada T del definido por los ejes de las variables independientes de f, la integral de f sobre T está dada por:

Siempre que el límite exista. Si el límite existe se dice que f es integrable con respecto a T.

Propiedades
Las integrales múltiples comparten muchas de laspropiedades de las integrales simples. Si f y g son funciones continuas en una región cerrada y acotada D en un espacio Rn y c una constante con respecto a todas las variables involucradas entonces se puede demostrar que:
1.

2.


3. Si, entonces:

4. Si, entonces:

5. Sea D la unión entre dos regiones, D1 y D2, que no solapan entre sí, entonces:

Calculo de Área con Integrales...