integrales ejercicios

Lic. Elsie Hernández S.
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Integración por sustitución trigonométrica
Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a
cabo enaquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la forma:

con

y

La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que
contiene funciones trigonométricas cuyoproceso de integración es más sencillo.
Estudiaremos cada uno de los casos como sigue:
a.
El integrando contiene una función de la forma

con

Se hace el cambio de variable escribiendo

dondeSi

entonces

Además:
pues

entonces

Luego:

Como

entonces

por lo que

y como

Para este caso, las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a
partir de la figurasiguiente:

Ejemplos:

1.

Sea

Luego:

Sustituyendo:

con

Como

Además

entonces

y

por lo que

Estos resultados también pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:

Porúltimo:

2.

Sea

Luego

Sustituyendo

Como
entonces
por lo que puede utilizarse la
siguiente figura para dar el resultado final:

Luego:

3.

Sea

Además:

Sustituyendo:

4.Sea

Luego

Sustituyendo

pues

y

También puede utilizarse:

5.

Ejercicio para el estudiante

6.
Ejercicio para el estudiante
7.
Ejercicio para el estudiante
b.

Elintegrando contiene una expresión de la forma

Hacemos un cambio de variable escribiendo

Si

con

donde

y

entonces

Además

Como

y

entonces

es positiva

y por tanto
Las otrasfunciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la siguiente
figura:

Ejemplos:
1.

Sea

Luego:

Sustituyendo

2.

Sea

Luego:

Sustituyendo

3.

Sea

LuegoSustituyendo

Como

de la
sustitución inicial

Por tanto:

4.

Sea

Luego

Sustituyendo

Como

entonces

Por lo que:

se obtiene:

Por último:

5.
Ejercicio para el...