Integrales Elementales

ABREVIATURAS DE USO FRECUENTE
e:

η:

og : sen : arcs e n : cos : arc cos : arc co s :

Base de logaritmos neperianos. Logaritmo natural o neperiano. Logaritmo vulgar o de briggs. Seno. Arco seno. Coseno. Arco coseno. Arco coseno. Tangente. Arco tangente. Cotangente. Arco cotangente. Secante. Arco secante. Cosecante. Arco cosecante. Exponencial. Diferencial de x. Valor absoluto de x.
em ww w at ic a

τg :
arc tg : co τ g arc co tg sec : arc sec : cos ec : arc sec : exp : dx : x:

m.c.m:
.M

Mínimo común múltiplo. IDENTIFICACIONES USUALES
at

s e n n x = (s e n x) n

η n x = ( η x) n
ogx = og x

s e n −1 x = arcs e n x og n x = ( ogx) n

IDENTIDADES ALGEBRAICAS 1. Sean a, b: bases; m, n números naturales. n m+ n a a =a (a m ) n = a mn
m

am = a m−n , a ≠ 0 an(ab) n = a nb n

1.

co

m

an ⎛a⎞ ⎜ ⎟ = n ,b ≠ 0 b ⎝b⎠

n

a

m

n

= n am =

( a)
n

m

a−n =

1 an

a 0 = 1, a ≠ 0

7

2. Sean a, b ,c: bases; m, n números naturales 2 3 ( a ± b ) = a 2 + 2ab + b2 ( a ± b ) = a3 ± 3a 2b + 3ab2 + b3

(a ± b)

4

= a 4 ± 4a 3b + 6a 2b 2 ± 4ab3 + b 4

a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) a 3 ± b3 = (a ± b)(a 2 ∓ ab ± b 2 )

a 2n − b 2 n = (a n + b n )(a n − b n ) (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + ac + bc)

3. Sean b, n, x, y, z: números naturales ⎛x⎞ ogb ⎜ ⎟ = ogb x − ogb y og ( xyz ) = ogb x + ogb y + ogb z ⎝ y⎠ n 1 ogb x = n ogb x ogb n x = ogb x n ogb 1 = 0 og bb = 1

ηe = 1 ηex = x exp( η x) = x

η exp x = x = x e ηx = x

τ gθ =

s e nθ cos θ 2 s e n θ + cos 2 θ = 1

w

w

w

.M

sen =1 cos ecθ

em

at

1.

ic a

1.

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
cos θ = 1 s ecθ

1+ co τ g 2θ = cos ec 2θ

cos θτ gθ = s e n θ
2. (a) s e n(α + β ) = s e n α cos β + cos α s e n β
sen

α
2

=±

1 − cos α 2

s e n(α − β ) = s e n α cos β − cos α s e n β

at

1 co τ gθ 2 1 + τ g θ = sec 2 θ

τ gθ =

cos θ cos ecθ = coτ gθ

s e n 2α = 2s e n α cos α 1 − cos 2α s en2 α = 2

co

m

8

(b)

cos(α + β ) = cos α cos β − s e n α s e n β
cos 2 α =

1 + cos 2α 2 2 cos 2α = cos α − s e n 2 α = 1 − 2s e n 2 α = 2 cos 2 α − 1

1 + cos α 2 2 cos(α − β ) = cos α cos β + s e n α s e n β cos

α

=±

(c)

τ gα + τ g β 1 − τ gατ g β 1 − cos 2α τ g 2α = 1 + cos 2α τ g (α + β ) =
α
2 =± 1 − cos α s e nα 1 − cos α = = 1 + cos α 1 + cos α s e nα

2τgα 1 − τ g 2α τ gα − τ g β τ g (α − β ) = 1 + τ gατ g β

τ g 2α =

τg
(d)

(e) arcs e n(s e n x) = x arcτ g (τ gx) = x arc sec(sec x) = x

w w

1 [s e n(α + β ) + s e n(α − β )] 2 1 cos α cos β = [ cos(α + β ) + cos(α − β ) ] 2 α +β α −β s e n α + s e n β = 2s e n cos 2 2 α +β α −β cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 s e n α cos β =
w

1 [s e n(α + β ) − s e n(α − β )] 2 1 s e n α s e n β= − [ cos(α + β ) − cos(α − β ) ] 2 α +β α −β s e n α − s e n β = 2 cos sen 2 2 α +β α −β cos α − cos β = −2s e n sen 2 2 cos α s e n β =
co m ic a 1.

.M

at

em

at

arc cos(cos x) = x arc co τ g (co τ gx) = x arc co sec(co sec x) = x

9

FORMULAS FUNDAMENTALES
Diferenciales du 1.- du = dx u 2.- d (au ) = adu 3.- d (u + v) = du + dv 4.- d (u n ) = nu n −1du
du u 6.- d (eu ) =eu du

Integrales 1.- ∫ du = u + c 2.- ∫ adu = a ∫ du

3.- ∫ (du + dv) = ∫ du + ∫ dv 4.- ∫ u n du = 5.- ∫
u n +1 + c (n ≠ −1) n +1

5.- d ( η u ) =

7.- d (a u ) = a u η adu 8.- d (s e n u ) = cos udu 9.- d (cos u ) = − s e n udu 10.- d (τ gu ) = sec 2 udu 11.- d (coτ gu ) = − cosec2 udu 12.- d (sec u ) = sec uτ gudu 13.- d (co sec u ) = − co sec u coτ gudu 14.- d (arcs e n u ) = 15.- d(arc cos u ) =

du = η u +c u 6.- ∫ eu du = eu + c au +c ηa

7.- ∫ a u du =

8.- ∫ cos udu = s e n u + c

du 1− u −du
2

w

w

.M at em at ic

11.- ∫ cosec 2 udu = − co τ gu + c 12.- ∫ sec uτ gudu = sec u + c 13.- ∫ co sec u co τ gudu = − co sec u + c
a1 .c

14.- ∫ 15.- ∫

w

om

10.- ∫ sec 2 udu = τ gu + c

9.- ∫ s e n udu = − cos u + c

du 1− u2 du

= arcs e n u...