Integrales Impropias
Páginas: 32 (7820 palabras)
Publicado: 27 de abril de 2012
Sección 5.2
5
1
0
4
1
∞
4
1
dx = 2
x
201
integrales impropias con límites de integración infinitos
Integrales impropias
La imagen, obtenida con el telescopio espacial Hubble de la naSa,
de una nebulosa planetaria llamada “nebulosa del ojo del gato” es
sólo una muestra de lo que se podría ver si se pudiera viajar a través
del espacio. ¿Sería posible propulsar unanave espacial a una distancia
ilimitada fuera de la superficie de la Tierra? ¿Por qué?
1
dx = 2
x
1
dx = ∞
x
De los estudios de cálculo
realizados hasta hora, se sabe
que una integral definida tiene
límites finitos de integración
y un integrando continuo. en
el capítulo 5 se estudiarán
las integrales impropias. Las
integrales impropias tienen un
límite infinito de integraciónpor
lo menos o tienen un integrando
con una discontinuidad infinita.
Se verá que las integrales
impropias convergen o divergen.
P. Harrington y K.J.Borkowski (University of Maryland) y naSa
201
(05) Larson 05-1.indd 201
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202
caPíTULo 5
integrales impropias
Definición de integral impropia
Sección 5.1
La definición de una integral definida
bf x dx
a
requiere que el intervalo [a, b] sea finito. además, el teorema fundamental del cálculo por
el que se han estado evaluando las integrales definidas, requiere que ƒ sea continuo en
[a, b]. en esta sección se estudiará un procedimiento para evaluar integrales que normalmente
b
b
b
no satisfacendx requisitos porque cualquiera de los dos límites de integración son infinitos,estos
fbx dx
f x d
a f un número
o ƒ tiene xxxdx finito de discontinuidades infinitas en el intervalo [a, b]. Las integrales
a
f
a
a
que poseen estas características son las integrales impropias.
lím f x
lím f x .
o
x→c
x→c
Integrales impropias con límites de integración infinitos
Sección 5.2
y
f (x) =
1
x2
2
b
1
1
1
21
dx
x2
b
3
4
b→∞
La región no acotada tiene un área de 1
Figura 5.1
x
notar b en una función se dice que ƒ tiene una discontinuidad infinita en c si, por la
que
b
1
1
1
dx
derecha o2 izquierda, 1 1
b
b
x1
1x
lím f x
lím f x .
o
lím
lím
o
x → c f x
x → c f x .lím
lím
o
x → c f x
x → c f x x . .
lím f
x→c
x→c
lím f x
o
x→c
x→c
Para tener una idea de cómo evaluar una integral impropia, considerar la integral
b
dx
b
b
1
dx
b dx
1b
b dx límb
1.
1 1 1 1 1
2
1
1 lím
dx2 1 b x1 1 1 1
b2
bx
1 xxd → 1 b 1 1 b → b 1b
1
2x
1 x2 x 1 b 1 1 b
1 x 2 1
b
b
x1 11
1
b
b
x1
1x
la cual puede interpretarse como el área de la región sombreada mostrada en la figura 5.1.
Tomando el límite como b → ∞ produce
b
dx
b dx
1
dx
b dx
dx lím
1
dx blím 1 1 1.
b 2 lím
2d blím
→ 1 b 1 1.
→
x 2 blím 1 x 2dx blím 1 b 1.
1
x 2 x →lím 1 x 2
1.
→lím 1
b→
b→
1
b
x
x2
1
b→
b→ 1 1x 2
b
x
1
esta integral impropia se interpreta como el área de la región no acotada entre la gráfica de
b
ƒ(x) 1/x2 y elx dx ( la derechade dx 1).
f eje x a lím
f x x .
b→
a
a
Definición de integrales impropias con límites de integración infinitos
b
1.
bSi ƒ s continuo en→ b f x[dx.∞), entonces
e f x dx a límintervalo a,
el b
ba
f x dx lím
x dx blím
f x dx lím a fbx dx.
f x dx.
→
f x dx.
a f
b→
b
f x dx →lím a f x dx.
a
a
a
a
→
bc
a
b f x dx
ƒes continuo en intervalo (c , b], entonces
el f x bdx ∞ f x dx...
5
1
0
4
1
∞
4
1
dx = 2
x
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integrales impropias con límites de integración infinitos
Integrales impropias
La imagen, obtenida con el telescopio espacial Hubble de la naSa,
de una nebulosa planetaria llamada “nebulosa del ojo del gato” es
sólo una muestra de lo que se podría ver si se pudiera viajar a través
del espacio. ¿Sería posible propulsar unanave espacial a una distancia
ilimitada fuera de la superficie de la Tierra? ¿Por qué?
1
dx = 2
x
1
dx = ∞
x
De los estudios de cálculo
realizados hasta hora, se sabe
que una integral definida tiene
límites finitos de integración
y un integrando continuo. en
el capítulo 5 se estudiarán
las integrales impropias. Las
integrales impropias tienen un
límite infinito de integraciónpor
lo menos o tienen un integrando
con una discontinuidad infinita.
Se verá que las integrales
impropias convergen o divergen.
P. Harrington y K.J.Borkowski (University of Maryland) y naSa
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caPíTULo 5
integrales impropias
Definición de integral impropia
Sección 5.1
La definición de una integral definida
bf x dx
a
requiere que el intervalo [a, b] sea finito. además, el teorema fundamental del cálculo por
el que se han estado evaluando las integrales definidas, requiere que ƒ sea continuo en
[a, b]. en esta sección se estudiará un procedimiento para evaluar integrales que normalmente
b
b
b
no satisfacendx requisitos porque cualquiera de los dos límites de integración son infinitos,estos
fbx dx
f x d
a f un número
o ƒ tiene xxxdx finito de discontinuidades infinitas en el intervalo [a, b]. Las integrales
a
f
a
a
que poseen estas características son las integrales impropias.
lím f x
lím f x .
o
x→c
x→c
Integrales impropias con límites de integración infinitos
Sección 5.2
y
f (x) =
1
x2
2
b
1
1
1
21
dx
x2
b
3
4
b→∞
La región no acotada tiene un área de 1
Figura 5.1
x
notar b en una función se dice que ƒ tiene una discontinuidad infinita en c si, por la
que
b
1
1
1
dx
derecha o2 izquierda, 1 1
b
b
x1
1x
lím f x
lím f x .
o
lím
lím
o
x → c f x
x → c f x .lím
lím
o
x → c f x
x → c f x x . .
lím f
x→c
x→c
lím f x
o
x→c
x→c
Para tener una idea de cómo evaluar una integral impropia, considerar la integral
b
dx
b
b
1
dx
b dx
1b
b dx límb
1.
1 1 1 1 1
2
1
1 lím
dx2 1 b x1 1 1 1
b2
bx
1 xxd → 1 b 1 1 b → b 1b
1
2x
1 x2 x 1 b 1 1 b
1 x 2 1
b
b
x1 11
1
b
b
x1
1x
la cual puede interpretarse como el área de la región sombreada mostrada en la figura 5.1.
Tomando el límite como b → ∞ produce
b
dx
b dx
1
dx
b dx
dx lím
1
dx blím 1 1 1.
b 2 lím
2d blím
→ 1 b 1 1.
→
x 2 blím 1 x 2dx blím 1 b 1.
1
x 2 x →lím 1 x 2
1.
→lím 1
b→
b→
1
b
x
x2
1
b→
b→ 1 1x 2
b
x
1
esta integral impropia se interpreta como el área de la región no acotada entre la gráfica de
b
ƒ(x) 1/x2 y elx dx ( la derechade dx 1).
f eje x a lím
f x x .
b→
a
a
Definición de integrales impropias con límites de integración infinitos
b
1.
bSi ƒ s continuo en→ b f x[dx.∞), entonces
e f x dx a límintervalo a,
el b
ba
f x dx lím
x dx blím
f x dx lím a fbx dx.
f x dx.
→
f x dx.
a f
b→
b
f x dx →lím a f x dx.
a
a
a
a
→
bc
a
b f x dx
ƒes continuo en intervalo (c , b], entonces
el f x bdx ∞ f x dx...
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