Integrales impropias

Integrales Impropias
Sea la integral, como se observa la función no está definida en ; esto quiere decir que es discontinua en ese punto. Tal integral se dice que es impropia.
Otroejemplo de integral impropia es . Observe que la función en el integrando no está definida en , por tanto la función es discontinua en este punto.
Un ejemplo más, son integrales de la forma , donde unoo ambos limites de integración son infinitos.

Diferentes integrales definidas en que se presentan impropias.

I. Integrales con discontinuidades en el intervalo cerrado [a,b] :
1. Sea ,supongamos que , presenta una discontinuidad en , entonces trataremos la integral de la siguiente forma:

Si el límite de la integral existe, entonces diremos que la integral CONVERGE, de locontrario se dice que la integral DIVERGE.


2. Sea , supongamos que , presenta una discontinuidad en , donde , entonces trataremos la integral de la siguiente forma:

Ahora que si el límite de ambasintegrales existe, entonces la integral CONVERGE, de lo contrario DIVERGE, si algún límite no existe.

II. Integrales donde sus límites son infinitos:

1. Sea o, son integrales impropiasdonde:

Si el límite existe entonces la integral impropia CONVERGE, de lo contrario diverge.

2. Sea , esta integral impropia la tratamos como una suma de dos integrales de la siguienteforma:

Si el límite existe en ambas al mismo tiempo, entonces la integral impropia Converge, de lo contrario Diverge.
EJEMPLO1: Determine la convergencia o divergencia de la integralSolución: Podemos observar que la integral definida es impropia ya que la función , es indefinida en ; entonces usando la definición anterior, tenemos que:

Calculando la integral



Hallandoel límite

Observamos que el limite no existe por tanto la integral impropia dada DIVERGE.

EJEMPLO 2: (discontinuidad dentro del intervalo). Determine si la integral dada converge o...