Integrales Indefinidas

MÓDULO 1
INTEGRALES INDEFINIDAS
Usted está familiarizado con algunas operaciones inversas. La adición y la sustracción son operaciones inversas, la multiplicación y la división son también operaciones inversas, así como la potenciación y la extracción de raíces. Ahora, conocerá la operación inversa la de derivación o diferenciación denominada antiderivación o antidiferenciación, la cual implicael cálculo de una antiderivada.
Antiderivada.
Una función F se denomina antiderivada de una función f en un intervalo I si para todo
Ejemplo.
Si F es la función definida por entonces De modo que si entonces f es la derivada de F, y F es la antiderivada de f. Si G es la función definida por entonces G también es una antiderivada de f, porque En realidad, cualquier función H definida por donde C esuna constante, es una antiderivada de f.
Teorema 1.
Si f y g son dos funciones definidas en el intervalo I, tales que para todo entonces existe una constante K tal que para todo
"La antiderivación o antidiferenciación es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de una función dada. El símbolo denota la operación de antiderivación, y se escribe donde y
Enla igualdadx es la variable de integración, es el integrando y la expresión recibe el nombre de antiderivada general o integral indefinida de f. Si es el conjunto de todas las funciones cuyas diferenciales sean también es el conjunto de todas las funciones cuya derivada es
Teorema 2.

Teorema 3.
donde a es una constante.
Teorema 4.
Si las funciones f y g están definidas en el mismo intervalo,entonces
Teorema 5.
Si las funciones están definidas en el mismo intervalo, entonces
donde son constantes.
Teorema 6.
Si n es un número racional, entonces
Ejemplos.
1) Evalúe
Solución.

2) Calcule
Solución.

3) Determine
Solución.

Los teoremas para las integrales indefinidas de las funciones trigonométricas seno, coseno, secante al cuadrado, cosecante al cuadrado, secante por tangente ycosecante por cotangente, son deducciones inmediatas de los teoremas correspondientes de diferenciación. A continuación se presentan tales teoremas.
Teorema 7.


Teorema 8.

Teorema 9.

Teorema 10.

Teorema 11.

Teorema 12.

Ejemplos.
1) Evalúe
Solución.

Las identidades trigonométricas se emplean con frecuencia cuando se calculan integrales indefinidas que involucran funciones trigonométricas. Las ochoidentidades trigonométricas fundamentales siguientes son de crucial importancia.

2) Calcule
Solución.

3) Determine
Solución.

Ejercicios.
Calcule las integrales indefinidas:

Teorema 13. Regla de la cadena para antiderivación.
Sea g una función diferenciable y sea el contradominio de g algún intervalo I. Suponga que f es una función definida en I y que F es una antiderivada de f en I.Entonces
Teorema 14.
Si g es una función diferenciable y n es un número racional, entonces
Ejemplos.
1) Evalúe
Solución.

y observe que si entonces Por lo tanto, se necesita un factor 3 junto a para obtener En consecuencia, se escribe

2) Calcule
Solución.
Observe que si entonces Por lo tanto, necesitamos un factor 6 junto a para obtener Luego, se escribe
3) Evalúe
Solución.
Como se escribeEjercicios.
Resuelva:

En los teoremas que se presentan a continuación es una función de x, es decir,
Teorema 15.

Ejemplo.
Evalúe
Solución.
En este caso por lo tanto, luego se necesita un factor 3 junto a para obtener Entonces, se escribe

Teorema 16.

Ejemplo.
Calcule
Solución.
Consideremos tenemos que luego necesitamos un factor 6 junto a para obtener Por lo tanto,

Teorema 17.

Ejemplo.
CalculeSolución.
Como entonces por lo tanto,

Teorema 18.

Ejemplo.
Evalúe
Solución.
Siendo entonces luego, podemos escribir

Teorema 19.

Ejemplo.
Resuelva
Solución.

Ejercicios.
Resuelva las integrales indefinidas:

Teorema 20.

Ejemplo.
Evalúe
Solución.
Sea entonces, por lo tanto

Teorema 21.

Ejemplo.
Evalúe
Solución.
Como se aplica el teorema 21 con de donde obtenemos, entonces

Ejercicios.
En...