integrales multiples

Prof. Enrique Mateus Nieves
Doctorado en Educación Matemática

Integrales múltiples.
Introducción.
En el primer curso de Fundamentos se planteó el problema de hallar el área comprendida entre la
gráfica de una función positiva y  f  x  , el eje OX y las rectas x  a , x  b . Dicha área se
b

representaba como  f  x  dx
a

Vimos que este problema estaba relacionado con el cálculode una primitiva de f  x  . El Teorema de
b

Barrow nos asegura que si F  x  es tal que F  x   f  x  entonces A   f  x  dx  F(b) - F(a)
a

Nuestro problema es el cálculo del volumen de un prisma de base rectangular R   a, b x  c, d  y
limitado superiormente por la gráfica de una función z  f  x, y  positiva. A este volumen lo
denotaremos por  f  x, y  dx dy
RDifiere del problema anterior en que no se resuelve encontrando una primitiva de f  x, y  (No tiene
sentido), sino por el cálculo de volúmenes por secciones. El volumen vendrá dado por la suma infinita
de las áreas de las secciones que se Obtienen al cortar el cuerpo por planos paralelos al plano XZ, o
también sumando las áreas de las infinitas secciones que se obtienen al cortar el cuerpo porplanos
paralelos al plano Y Z.

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d

b

c

a

V   f  x , y  dx dy   A y  dy   A x  dx
R

b

d

a

c

Donde A y    f  x , y  dx, A x    f  x , y  dy considerando en cada caso la x o la y fija. El problema
se convierte en el cálculo de una integral reiterada que ya sabemos resolver.Integral doble sobre un rectángulo.
Definamos ahora el concepto de integral doble de una función z  f  x, y  no necesariamente positiva
sobre un rectángulo R   a, b x  c, d  . Dividimos el intervalo [a, b] en n partes iguales, eligiendo para
ba
ello n  1 puntos a  x0  x1  x2    xn  b siendo xi 1  xi 
 x Elegimos, de forma
n
d c
análoga, m  1 puntos del intervalo [c, d],c  y0  y1  y 2    y n  d con yi 1  yi 
 y .
m
Así obtenemos n  m rectángulos xi , xi 1  x  yi , yi 1   Ri j de área A  x  y





 

Sea ci j  xi* , y*j  R i j  f ci j  A es el volumen del pequeño
Prisma del dibujo adjunto

n 1 m 1

 

Llamemos S n m   f ci j x y para hacer la
i 0 j 0

siguiente definición:

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Definición (Integral doble)
Si existe lim S n m
n ,m

y no depende de la elección de los valores ci j , entonces se dice que f es

integrable sobre R y al valor de dicho límite se le llama integral doble de f  x , y  sobre R . Se nota:



R

f  x , y  dx dy  lim

n ,m

n 1 m 1

  f c x y
i j

i 0 j 0



Sif  x , y  es una función positiva,



rectangular de base R y limitado superiormente por la gráfica de f.
Si f  x , y  es negativo, representa un volumen negativo.

 f x , y  dx dy
R

representa el volumen del prisma

Propiedades de la integral doble.

1. Linealidad.

 af x , y   bg x , y  dx dy  a  f x , y  dx dy  b  g x , y  dx dy
R

R

R

2.Monotonía. Si f x , y   g x , y  x, y   R , entonces:

 f x , y  dx dy   g x , y  dx dy
R

R

3. Aditividad. Si D  R1  R2 es unión de dos rectángulos disjuntos

 f x , y  dx dy   g x , y  dx dy   g x , y  dx dy
D

R1

R2

4. Teorema de Fubini: si z  f  x, y  es continua sobre R   a, b x  c, d  , entonces:



R

b d


f  x , y dx dy     f  x , y  dy  dx 


ac


b

   f x , y  dx  dy


c a

d

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Integral doble sobre regiones más generales .
Vamos a definir la integral doble de funciones sobre los siguientes tipos de regiones:

 x, y   IR

: a  x  b , f 1 x   y  f 2 x 





Regiones del tipo I D...