Integrales Multiples

Guía de Practica Nº4
Nombre: Ocros Polo, Ezequiel Manuel
Carrera: Ing. Electrónica y Telecomunicaciones
Curso: Matemática Aplicada I
Fecha: 30/12/12
Ciclo: IV

1.-Calcular el volumen delsolido limitado por la esfera.
x2+y2+z2=r2
Usando coordenadas esféricas:
Solución:
0≤ρ≤r
0≤θ≤π2
0≤φ≤π2
Jρ, θ, φ= ρ2sen2φ
V= S dxdydz= S Jρ, θ, φdρdθdφ →S ρ2sen2φdρdθdφ80π2(0π2(0aρ2sen2φdρ)dφ)dθ→80π20π2σ33senφa0dφ)dθ
=8a330π2(0π2senφdφ)dθ → 8a330π2-cosφπ20dθ
= 8a330π2-0-1dθ= 4a33πu3

2.- Considere la integral:
01x2xfx, ydydx
Bosqueje la región de integración y cambie el orden de integración.Solución:

01yyfx, ydxdy
3.-Evaluar la Integral:
06x32xy3+1dydx
Solución:


0203yxy3+1dxdy
02 x22y3+13y0→ 029y22y3+1dy →9202y2y3+1dy
y3+1=u
3y2dy=du
y2dy= du3
9202y2y3+1dy → 9202du3u→9202u3du →9602udu
= 962u32320→ u3220 → (y3+1)320→27-1→26

6. Calcular:
a)D yx5+1dA, D= x, yϵ R2, 0≤x≤1, 0≤y≤x2
Solución:



010x2yx5+1dydx → 12x5+101y2x20→ 01x42x5+1dx
x5+1=u
5x4dx=du01x42x5+1dx = 01du10(u)= 110ln⁡(2)

b)D x3dA, D= x, yϵ R2, 0≤x≤e , 0≤y≤lnx
Solución:

1e 0lnxx3dydx
1e x3ylnx0dx → 1e x3lnx-0dx → 1e x3lnxdx
u=lnx →du= 1xdx
dv= x3dx →v=3x2Calculando la integracion:
lnx.3x2-3x2.1xdx →3x2lnx-3xdx → 3x2lnx-3x22
3x2lnx-3x22e1 → 3e2lne-3e22-312ln1-3122
3e2- 3e22-3ln1-32

5.- Calcular:
a)0π20cosθesenθdrdθ
Solución:
0π2esenθrcosθ0dθ →0π2esenθ.cosθdθ
senθ=u
cosθdθ=du
0π2eudu → esenθπ20→ e -1
b)02y2yxydxdy
Solución:
02x22y2yydy→02(4y32-y32)dy→023y32dy→ 3y4820=6

4.- Calcular:
S a2-x2-y2dxdy, donde
S= x, yϵ R2, 0≤x≤a , 0≤y≤a2-x2Solución:
y= a2-x2, y2= a2-x2, x2+y2=a2

usando coordenadas polares:
x=rcosθ
y=rsenθ
J= ∂x, y∂r, θ= ∂x∂r∂x∂θ∂y∂r∂y∂θ=r
S a2-x2-y2dxdy= S fr, θ.Jr, θdA
0π20aa2-r2rdrdθ → 0a0π2a2-r2rdθdr0a(a2-r2)rθπ20dr → π20aa2-r2rdr= a3π6

7.- Evaluar:
a)D xcosyA, D acotado po y=0, y= x2, x=1
Solución:
01y1xcosydxdy
01x22cosy1y → 01(12cosy-y2cosy)dy → 1201cosy-ycosydy
=...