Integrales Por Sustitución Trigonómetricas

Integrales por Sustitución Trigonométrica
Teoría y explicación de los 3 casos para integrar

La integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen la forma
(Enlas formulas sustituye las “u” por “x” y las “n” por “a” para que entiendas los tres casos)
1.
2.
3.

Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras eidentidades trigonométricas.

Generalmente se traza el dibujo de un diagrama en donde aparezca un triángulo rectángulo, colocando un que vamos a interpretar como uno de los ángulos de estetriángulo. Para evaluar la integral se colocan los datos recibidos en ella en los catetos/hipotenusa correspondientes, y es allí en donde utilizamos las sustituciones trigonométricas, por medio de lasidentidades trigonométricas para expresar de la manera que mejor convenga , , , etc.

Es parecido a utilizar el método de Sustitución, solo que aquí sustituimos con las identidades trigonométricas.

Caso#1


despejar la x de la siguiente manera:







Caso #2

despejamos X de tal manera que

y




Caso # 3


despejamos X y nosquedaría de la siguiente manera
y
por lo tanto

entonces :


Ejemplos Utilizando Sustitución Trigonométrica en los 3 casos

Caso 1
*

Utilizamos nuestro triangulo paraobtener nuestras funciones trigonométricas:
luego despejamos y le sacamos su diferencial:

*
Para intentamos buscar una función trigonométrica para que sea mas fácil sustituirla en la integral,la que se va utilizar seria :

*

Ahora que tenemos nuestros datos lo podemos sustituir en la integral, y operamos:
*
Sabemos que la
Luego solo buscamos una función trigonométrica denuestro triangulo y el resultado final es:
*

Caso 2

Utilizamos nuestro triangulo para obtener función trigonométrica:

Despejamos luego le sacamos su diferencial y nos quedaría de la...