Integrales Resueltos

Introducci´
on a la Inform´
atica

Ejercicios resueltos tema 1: Matrices y sistemas lineales

EJERCICIO 1: Escribir las siguientes matrices:
a) A = (aij )3×4 , aij = i − j.
b) B = (bij )3×4 , bij = (−1)i+j .
2
−1

c) C = (bij )3×4 , cij =

si i ≥ j,
si i < j.




0 −1 −2 −3
0 −1 −2  ,
A= 1
2
1
0 −1




+1 −1 +1 −1
B =  −1 +1 −1 +1  .
+1 −1 +1 −1




2 −1 −1 −1
2 −1 −1  .
C= 2
2
2
2−1

EJERCICIO 2: Realizar (si se puede) las siguientes operaciones:

 

 

 
1 −1
2
0
1 −1
3
1
2 −3
x











−1
2
1
1 , b)
0
2
1 , c)
−1 −2
1
y .
a)
2
1 −1
0
1 −1
2
0
1
2
z


  

1 −1
2
0
−1
2
1  1  =  2 
a)  −1
2
1 −1
0
1
b) No se puede ya que la matriz tiene 2 columnas y el vector tiene 3 filas.

  

1
2 −3
x
x + 2y − 3z
1   y  =  −x − 2y + z 
c) −1 −2
0
1
2
z
y + 2z
EJERCICIO 3: Calcular AB y BA en los dos casos siguientes:


1
0
3 1 2
a) A =
, B =  2 −1  ,
b) A =
2 1 0
1
2

1
0
 2 −1  =
1
2

2 1
−1 0

,

B=

1 1
2 3

.


3 1 2
2 1 0


1
0
BA =  2 −1 
1
2

a) AB =

b) AB =
BA =

Dpto. EDAN

2 1
−1 0
1 1
2 3

3 1 2
2 1 0

3+2+2 0−1+4
2+2+0 0−1+0

=

7
3
4 −1


 
3 1 2
3+0 1+0 2+0
= 6−2 2−1 4+0 = 4 1 4 
7 3 2
3+4 1+2 2+0
1 1
2 3

=

2+2
2+3
−1 + 0 −1 + 0

2 1
−1 0

=

2−1 1+0
4−3 2+0

=

1

=

4
5
−1 −1

1 1
1 2

Licenciatura en Biolog´ıa

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Ejercicios resueltos tema 1: Matrices y sistemas lineales

EJERCICIO 4: El director de una residencia de ancianos espera cuatro ancianos para pasar las
vacaciones. Estos necesitan tres tipos de medicamentos distintos. La matriz A = (aij )representa
las necesidades diarias de dichos medicamentos (por ejemplo, en mg.), siendo i = 1, 2, 3 cada tipo
y j = 1, 2, 3, 4 los ancianos. El vector x = (xj ), j = 1, 2, 3, 4 representa el n´
umero de d´ıas que cada
anciano va a permanecer en el asilo.
a) Obtener las cantidades totales necesarias de cada producto si




7
20 40 30 10
 14 

A =  0 0 10 10  ,
x=
 21  ,
10 0 30 50
28
b) Siel coste (en euros) de los medicamentos viene dado por el vector (3, 2, 4), calcular el coste
total de los tratamientos.
a) Las columnas de la matriz A representan las cantidades de cada medicamento que necesita
diariamente cada anciano: el anciano 1 necesita diariamente 20 mg. del medicamento 1, 0 mg.
del medicamento 2 y 10 mg. del medicamento 3, etc.
El producto de la matriz A por el vector xdar´a como resultado un vector-columna de longitud
3 conteniendo las cantidades de cada medicamento que se necesitar´an:





 

7
20 40 30 10 
20 × 7 + 40 × 14 + 30 × 21 + 10 × 28
1610

 0 0 10 10   14  = 
 =  490 
10 × 21 + 10 × 28
 21 
10 0 30 50
10 × 7 + 30 × 21 + 50 × 28
2100
28
es decir, se necesitar´an 1600 mg. del medicamento 1, 490 mg. del medicamento 2 y 2100 mg. delmedicamento 3.
b) El coste total de estos medicamentos se obtiene multiplicando cada cantidad por el precio unitario
y sumando todas estas cantidades:
1600 mg. × 3 e + 490 mg. × 2 e + 2100 mg. × 4 e = 14.180 e


1610
Esto es equivalente al siguiente producto matricial: 3 2 4  490  = 14.180.
2100
EJERCICIO 5: Comprobar que:
1 2
3 2

a) det


= −4,

1 2 −1

3 2
2
b) det
−1 0
1

1 2 1 3
 2 0 10
c) det 
 1 3 0 1
0 0 1 2

Dpto. EDAN

det


 = −10,


 = −4,


2 2
0 1

= 2,


det 

det

1
3
3
1
−1 −2



2 3 4
 3 5 7
det 
 4 6 11
7 11 18

2

1 −1
= 5.
3
2



−2 −1 0
1
2 1  = −5.
0  = 19, det  −1
−5 −5 0
−3

5
9 
 = 0.
10 
19

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Ejercicios resueltos tema 1: Matrices y sistemas lineales

EJERCICIO 6:Resolver la ecuaci´on:



1 2 3
det  x 4 6  = 0.
4 x 12
Para obtener la expresi´on est´andar de esta ecuaci´on hay que “calcular” el determinante:


1 2 3
det  x 4 6  = 48 + 48 + 3 x2 − (48 + 24 x + 6 x) = 3 x2 − 30 x + 48
4 x 12
Luego la ecuaci´on a resolver es 3 x2 − 30 x + 48 = 0 y sus soluciones son
x=

30 ±

√
900 − 576
30 ± 18
=
=
6
6

8
2

EJERCICIO 7: Determinar el rango de las...