Integrales

Ejemplo #1
Evaluar

Solución La simple sustitución  no va a servir pues .
Para integrar potencias del coseno necesitaríamos un factor sen x extra. También una potencia del seno necesitaría un factor  de más. De modo que se puede separar un factor del coseno y convenir el que queda, es decir, , en una expresión que contenga el seno por medio de la identidad 


Es útil contar con el factoradicional, luego se evalúa la integral sustituyendo  y  , y




En general trataremos de escribir un integrado que contenga potencias de seno y de coseno en una forma que contenga un solo factor de seno ( y lo restante de la expresión en términos de coseno) o bien un solo factor coseno ( y lo demás en términos de seno), la identidad  nos permite convertir de potencias pares de seno apotencias pares de coseno e inversamente.


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Determine

Solución Podríamos convertir  a  pero nos quedaríamos con una expresión en términos de  sin factor  extra. En vez de eso, separamos un solo factorseno y reescribimos el factor  restante en términos de  :



Sustituyendo  , tenemos  luego





En los ejemplos anteriores una potencia impar del seno o el coseno nos permitió separa un factor simple y convertir la potencia complementaria. Si el integrando contiene potencias pares de seno tanto como de coseno esta estrategia falla. En este caso aprovechamos las identidades del ángulomitad.
 y 
Ejemplo #3
Evaluar

Solución
Si escribimos  , la integral no queda mejor. Pero usando la fórmula del ángulo mitad para  , tenemos



Observamos que, mentalmente, hicimos la sustitución  al integrar .


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Ejemplo #4
Determine


Es posible evaluar esta integral con la fórmula de reducción para  con el resultado del ejemplo 1, pero otro método es expresar  y aplicar la fórmula del ángulo mitad;



Ya que se representa con , debemos emplear otra fórmula de mitad de ángulo.

Con esto llegamos a



Como resumen, listamos los lineamientos a seguir al evaluar integrales dela forma  donde  y  son enteros.
Cómo evaluar 
(a) Si la potencia del coseno es impar (n=2k+1) , aparte un factor de coseno y emplee  para expresar los factores restantes en términos del seno:

=\int sen^mx(1-sen^2x)^kcosxdx
A continuación, sustituya 
(b)Si la potencia sel seno es impar (, aparte un factor del seno y use  para expresar los factores restantes en términos del coseno:Luego, reemplace . Advierta que si las potencias de sen y de cos son ambas impares use (a) o (b)
(c)Si las potencias del seno y coseno son pares a la vez, aplicamos las identidades de mitad del ángulo:
 
A veces es útil emplear la identidad

Usaremos una estrategia similar para evaluar integrales de la forma . Sabiendo que (d/dx) , podemos separar un factor  y convertir la potencia restante(impar) de secante a una expresión que contiene tangente usando la identidad . O, ya que (d/dx) , podemos separar un factor sec x tan x y convertir la potencia restante(par) de tangente a secante.

Ejemplo #5
Encontrar


= 

= 

= 

= 

Ejemplo #6
Encuentre:

Esta integral puede escribirse como:

Y en tal caso realizamos lo siguiente:


Se procede a integrar por el método desustitución tomando  y :



Se sustituye  y obtenemos:



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Ejercicio #6











Ejercicio # 7









Ejercicio (cuando exista coseno y seno)








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