Integrales

Transformadas Integrales
Una transformada integral es cualquier transformada T aplicada sobre la función f(x) de la forma siguiente:

La entrada de esta función T encontramos una función , y la salida otra función . Una transformada es un tipo especial de operador matemático. En ella y son dos valores que dependen de su definición, y pueden variar desde hasta .
Hay numerosas transformadasintegrales útiles. Cada una depende de la función K de dos variables escogida, llamada la función núcleo o kernel de la transformación. Algunos núcleos tienen una K inversa asociada, , que (más o menos) da una transformada inversa:

Un núcleo simétrico es el que es inalterado cuando las dos variables son permutadas.
Transformada de Laplace
La transformada de Laplace de una función definida(en ecuaciones diferenciales, o en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función , definida por:

siempre y cuando la integral esté definida. Cuando no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definición es

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. Tambiénexiste la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de .
es llamado el operador de la transformada de Laplace.
Transformada de Mellin
En matemática, la transformada de Mellin es una transformada integral que puede serconsiderada como una versión multiplicativa de la transformada bilateral de Laplace. Esta transformada integral está íntimamente relacionada con la teoría de las series de Dirichlet, y es usada habitualmente en teoría de números y la teoría de series asintóticas; también está fuertemente relacionada con la transformada de Laplace, la transformada de Fourier y la teoría de la función gamma, y formaparte de las funciones especiales.
La transformada de Mellin de una función f está definida como:

y su transformada inversa:

La notación anterior implica que la integral debe calcularse como una integral de línea tomada sobre una línea vertical en el plano complejo. Las condiciones en la cuales es posible esta inversión están recogidas en el teorema de inversión de Mellin.
La transformadaes llamada así en honor al matemático finés Hjalmar Mellin.
Transformada de Fourier
En matemática, la transformada de Fourier, denominada así por Joseph Fourier, es una aplicación que hace corresponder a una función , con valores complejos y definidos en la recta, con otra función g definida de la manera siguiente:

Donde es , es decir, tiene que ser una función integrable en el sentido dela integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal. En la práctica las variables y suelen estar asociadas a dimensiones (como el espacio -metros-, frecuencia -herzios-,...) yentonces es correcto utilizar la fórmula alternativa:

de forma que la constante beta cancela la dimensiones asociadas a las variables obteniendo un exponente adimensional.
La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.
Además, tiene unamultitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la decomposición de una señal en componentes de frecuencias...