integrales

1

GUIA Nº3 CALCULO II
INGENIERIA
1.- Sea f ( x) 

1
5
 3

, integrable en 1,5 . Con P  1, , 2 , , 3 , 4 , 5   1,5 , encontrar
x
2
 2

1

un valor aproximado de

1

 x dx , utilizando suma superior y suma inferior. Comparar
5

con el valor verdadero de la integral.
2.- Calcular un valor aproximado de ln6, usando la siguiente partición:
P   , 1.25 , 1.5 ,1.75 , 2 , 2.25 , 3 , 4 , 5 , 6
1
6

dx
.
x
1
3.- Subdividir 0,10 en 5 subintervalos de igual longitud y encontrar con dicha
y sabiendo que ln 6  

10

medio de xi 1, xi .

n

0

partición P el valor aproximado de

i 1

3
 x dx , mediante,  f ( i )xi con  i , punto

4.- Decir cuales de las funciones son integrables en 0,2 y calcular la integral cuandosea posible.
1

 1 , si 2  x  1

, si 0  x  1
x
1

a) f ( x)  
b) f ( x)   x , si 0  x 
2
 x  2 , si 1  x  2

0 , si x  0  x  1



3

1
dx
  2 1
2 1x
6.- Expresar el límite de las siguientes sumas como una integral definida:
5.- Demostrar que:

n
 x  xi 1 
a) lím   i
 xi  xi 1  , P  P1,9
n 
2 
i 1 
n
x
b) lím  i xi, P  P 0, 2
n 
i 1 1  xi
3



N







c) lím  x 2 i  x 2 i 1 , P  P 5,13
n 

I 1

1 N i
 f    f ( x)dx
n I 1  n  
0
1

7.-

Sabiendo

que

lím

n 

1  2 m  ...  n m
1

m 1
n 
m 1
n
8.- Calcular:
1 
1
1 
1 
 ... 

a) lím


n 
n
2
n

f ( x)  x m ,

y

demostrar

lím

n 1

b)lím 
n 

k 0

1
n2  k 2

 11 / 3  21 / 3  ...  n1 / 3 
n
n 
 n

c) lím  2
d) lím 
 2
 ...  2


n 
n  n  1
n  22
n  n2 
n4/3



9.- Verificar el T.V.M. para integrales, encontrando valores apropiados de  :
5

a)

 3x  2dx
2


1

11.- Calcular

2



x
x2  5

dy
para:
dx

 4 x



2

 2 x  1 dx

c)3

 3x 2  4 x dx

0

2

3

10.- Calcular

 x
7

b)

dx , sabiendo que f ( x)  x 2  5

1/ 2





y f / ( x)  x x 2  5

1 / 2

que

2

x3

a) y 

b

x2

a

x
dt
2
a 1  t  sen t

b) y  

c) y  

2

dt

 1 sen2t

d) y 

3

dt
2
2
x 1  t  sen t

1
 1  sen 2 t dt
0


a

x

cos x

1
dt
sen 2 t  12
 x  t sen t dt

e) y 

f) y   xf (t )dt

x3

0

x 1

12.- Calcular g // ( x) si g ( x) 

 x  t  f (t )dt
x

x

2

1
t
 a  t dt  1 , calcular el valor de a y b .
x 0 bx  sen x
0
14.- Aplicando el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, calcular:
13.- Si lím


2

3

a)  2 x 2 x 3  1dx

2

b)  x 1  x dx

0

2

0

0

4c)  sen 3 x cos xdx

d)  x  2 dx

e) 

3

x  2x  x  2
3

1

1

2

f)  sen 2 x ·cos 2 xdx

x  1

2

0


3

g)  sen 3 t ·cos 2 tdt
0





x

d 
  2 t  1 dt dx
15.- Calcular  

dx  5
4

16

16.- CALCULO DE AREAS
a) Determinar el área de la región limitada por:
i) x 2  y  1 ; x 2  1  y
iii) y  sen x ; y  cos x ; x  0 ;x 



ii) x  y 2  4 ; x  2 y  1
iv) y  x 3 ; y  x 2

4
v) y  4 x  8 y la recta que une los puntos 2,4 y 4,8
2

4
; y  x2  5
2
x
viii) y  x 2  6 x  10 ; x  6 ; y  2

vi) y  

x) y  x  1  x ; y  0 ; x  2 ; x  3
xii) y 2  2 px ; x 2  2 py

x2
; y  2x
2
ix) y  x 3  6 x 2  8x ; y  x 2  4 x

vii) y  x 2 ; y 

xi) y  e x ; y  e  x ;x  1
xiii) y  xx  1x  2 ; y el eje X.

b) Determinar “m” de tal manera que la región sobre la curva y  mx 2 (m  0) , a la
derecha del eje Y y bajo la recta y  m , tenga un área de K unidades cuadradas.
c) Por integración obtener el área del trapecio con vértices en
 1,1; 2,2; 6,2 y 7,1
17.-COORDENADAS POLARES
a) Un cuadrado de lado “2b” tiene su centro en el polo...