Integrales

Prof.: Carvajal G. Luis G.
Matemática

Colegio Universitario de Caracas
Asignatura: Matemática II
Prof.: Carvajal G. Luis G.

Integrales
Propiedades
Algunas reglas básicas para la integración
Si F `( x ) = f ( x ) entonces ∫ f ( x)dx = F ( x) + c donde “c” es una constante arbitraria.

∫ adx = a ∫ dx con a ∈ ℜ
∫ [ f ( x) ± ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ±

± ∫ g ( x )dx

Tabla deIntegrales Inmediatas
a)

∫ dx = x + c

c)

n
∫ x dx =

e)

∫ ax + b =

g)

ax + b
∫ e dx =

i)

∫a

k)

∫

m)

o)

q)

∫ sen(ax + b)dx = −

con n ≠ -1

d)

∫ cos(ax + b)dx =

+c

f)

∫ sec (ax + b)dx =

h)

∫ csc (ax + b)dx = −

a mx + n
+c
dx =
m ln a

j)

∫ sec(ax + b) ⋅ tg (ax + b)dx =

= arcsenx + c

l)

∫ tg (ax + b) = −

n)

∫ctg (ax + b)dx =

p)

∫ sec(ax + b)dx =

r)

∫ csc(ax + b)dx = −

x n +1
+c
n +1
ln ax + b

dx

mx + n

dx
1− x
dx

∫ 1+ x

2

∫x

2

a

dx

x −1
2

1+ x

e ax + b
+c
a

= arctgx + c

dx

∫

cos( ax + b)
+c
a

b)

2

= arcsec x + c

= ln x + 1 + x 2 + c

2

sen(ax + b)
+c
a
tg (ax + b)
+c
a

2

ctg ( ax + b)
+c
a
sec( ax +b)
+c
a

ln cos( ax + b)
a

+c

ln sen( ax + b)
a

+c

ln sec( ax + b) + tg ( ax + b)
a

+c

ln csc( ax + b) + ctg ( ax + b)
+c
a

"La clave del éxito depende sólo de lo que podamos hacer de la mejor manera posible."
Henry Wadsonrth Longfellow

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Matemática

Identidades Fundamentales para la Resolución de Algunas Integrales
a) sec x =

1cos x

b) csc x =

g) sen x + cos x = 1
2

1
senx

c) tgx =

senx
cos x

h) sen x = 1 − cos x

2

2

2

tg 2 x + 1 = sec 2 x

l)

o)

ctg 2 x = csc2 x − 1

p) sen(2 x ) = 2 senx ⋅ cos x

r)

senx ⋅ seny =

cos ( x − y )
2

−

ctg 2 x + 1 = csc 2 x

cos ( x + y )
2

s)

m) sen
q)

α=

2

sen ( −α ) = − senα

f)

cos ( −α ) = cos α
j)

1− cos 2α
2

tg 2 x = sec 2 x − 1

n) cos

2

α=

1 + cos 2α
2

cos(2α ) = cos2 α − sen2α

cos ( x − y )

cos x ⋅ cos y =

e)

cos x
senx

cos 2 x = 1 − sen 2 x

i)

k)

d) ctgx =

2

+

cos ( x + y )
2

senx ⋅ cos y =

sen ( x − y )
2

+

sen ( x + y )
2

Fórmulas de Reducción

− sen n −1 x ⋅ cos x n − 1
n−2
+
∫ sen xdx
n
n
n −1
senx ⋅ cos xn − 1
n
n−2
+
c) ∫ cos xdx =
∫ cos xdx
n
n

a)

sec n −1 x ⋅ tgx n − 2
n−2
+
∫ sec xdx
n −1
n −1
n −1
tg x
n
− ∫ tg n − 2 xdx
d) ∫ tg xdx =
n −1

n
∫ sen xdx =

n
∫ sec xdx =

b)

Técnicas de Integración que Incluyen Potencias de Funciones Trigonométricas
Potencias de senos y cosenos
Caso 1: m impar
Aislar un factor de senx ( para du )

Convertir lo restanteen ( sen 2 x) K con K ∈

∫ sen

m

x cos n xdx

con m, n ∈

*

Caso 2: n impar
Aislar un factor de cosx ( para du )

Convertir lo restante en (cos 2 x) K con K ∈

*

Reemplazar sen2 x = 1 − cos 2 x
Cambio de variable: u = cos x

*

Reemplazar cos 2 x = 1 − sen 2 x
Cambio de variable: u = senx

Caso 3: m y n pares
Utilizar identidades “m”, “n” y posteriormente a ello “p”Potencias de secantes y tangentes
Caso 1: m un entero positivo impar
Aislar un factor de sec xtgx ( para du )

Reemplazar tg 2 x = sec2 x − 1
Cambio de variable: u = sec x

∫ tg

m

x sec n xdx

Caso 2: n un entero positivo par
Aislar un factor de sec2 x ( para du )

Reemplazar sec2 x = 1 + tg 2 x
Cambio de variable: u = tgx

Caso 3: m un entero positivo par y n un enteropositivo impar
Reemplazar tg 2 x = sec2 x − 1

Emplear la fórmula de reducción de la forma ∫ sec x n dx
"La clave del éxito depende sólo de lo que podamos hacer de la mejor manera posible."
Henry Wadsonrth Longfellow

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Método de Sustituciones trigonométricas
Caso 1: Integrales que contienen
a2 − x2
Cambio es:

a2 + x2

x = asenσ
a

Caso 2:...