Integrales

UNIVERSIDAD DEL B´
IO-B´
IO
Facultad de Ciencias
´
Departamento de Matematica.
SC/sc.

Concepci´n, April 24, 2012.
o

Gu´ 2 de C´lculo III (220042)
ıa
a
Integral de Camino
F (r) · dr, donde C es la curva dada por y = x2 , donde la coordenada

1. Sea F (r) = (x + y )ˆ + y y . Calcular
x
ˆ
C

x recorre [0, 1] de izquierda a derecha a medida que r recorre C .
Soluci´n:
o

4.
3

F (r) · dr, donde C es la curva dada por y = x2 , donde la coordenada

2. Sea F (r) = (x + y )ˆ + y y . Calcular
x
ˆ
C

x recorre [0, 1] de derecha a izquierda a medida que r recorre C .
4
Soluci´n: − .
o
3
F (r) · dr, donde C es la curva dada por y = x3 , donde la coordenada

3. Sea F (r) = (x + y )ˆ + y y . Calcular
x
ˆ
C

x recorre [0, 1] de izquierda a derecha amedida que r recorre C .
Soluci´n:
o
4. Sea F (r) = (x + y 2 )ˆ + 2xy y . Calcular
x
ˆ

5
.
4

F (r) · dr, donde C es la curva dada por y = x2 , donde la
C

coordenada x recorre [0, 1] de izquierda a derecha a medida que r recorre C .
Soluci´n:
o
5. Sea F (r) = (x + y 2 )ˆ + 2xy y . Calcular
x
ˆ

3
.
2

F (r) · dr, donde C es la curva dada por y = x3 , donde la
Ccoordenada x recorre [0, 1] de izquierda a derecha a medida que r recorre C .
Soluci´n:
o
6. Sea F (r) = xy x + x2 y y . Calcular
ˆ
ˆ
vez C en sentido anti-horario.

3
.
2

F (r) · dr, donde C es la curva dada por y = |x|, donde r recorre una
C

Soluci´n: 0.
o
F (r) · dr, donde C es la curva dada por x2 + y 2 = 1, donde

7. Sea F (r) = (2x + y )ˆ + (−x + 4y )ˆ. Calcular
x
y
rrecorre una vez C en sentido anti-horario.

C

1

Soluci´n: −2π .
o
F (r) · dr, donde C es la curva dada por |x| + |y | = 1, donde

8. Sea F (r) = (x + 4y )ˆ + (ax + y )ˆ. Calcular
x
y
r recorre una vez C en sentido anti-horario.

C

Soluci´n: 2a − 8.
o
F (r) · dr, donde C es la curva dada por x2 + y 2 = R2 , donde

9. Sea F (r) = (x + 4y )ˆ + (ax + y )ˆ. Calcular
x
y
C

R esuna constante positiva y r recorre una vez C en sentido anti-horario.
Soluci´n: πR2 (a − 4).
o
2

xy
10. Sea F (r) = F0 x 3y x + F0 L2 y . Calcular
ˆ
ˆ
L

F (r) · dr, donde F0 , K son constantes, C es la curva dada por
C

y = Kx2 , r recorre C con x recorriendo [0, L] de izquierda a derecha.
Soluci´n:
o

11. Sea F (r ) =

ρ
3
(ρ2 +z 2 ) 2

F0 KL2
(1 + 2KL).
5

F (r ) ·dr , donde F0 , K son constantes, C es la curva dada por r = z z
ˆ

z . Calcular
ˆ
C

recorre C con z recorriendo [0, +∞[ de izquierda a derecha.
Soluci´n:
o

12. Sea F (r) =

x

F (r) · dr, donde x recorre el intervalo

ˆ
3 x, donde d > 0 es una constante. Calcular
+ x2 ) 2
[d, 4d] de izquierda a derecha mientras r recorre C .
(d2

C

Soluci´n:
o

13. Sea F (r) =
rrecorre C .

1
r. Calcular
ˆ
r2

1
.
ρ

1
11
√ −√
.
d
2
17

F (r) · dr, donde r recorre el intervalo [rA , rB ] de izquierda a derecha mientras
C

Soluci´n:
o

1
1
−.
rA rB

Longitud de Camino Un elemento de longitud de camino puede ser visto, a grandes rasgos, como dL = dr =
dx2 + dy 2 + dz 2 . Si x, y, z dependen de una variable u, entonces
d=

dx
du

2

dydu

+

2

+

Si u ∈ [a, b], la longitud del camino viene dada por
b

=

d (u).
a

2

dz
du

2

du.

1. Hallar la longitud de la curva dada por x = cos(z ), y = sen(z ) para z ∈ [0, 2π ].
√
Soluci´n: 2 2π unidades.
o
3

2. Hallar la longitud de la curva dada por y = x 2 para x ∈ [0, 5].
Soluci´n:
o

335
unidades.
27

3

3. Hallar la longitud de la curvadada por x = 3y 2 − 1 para y ∈ [0, 4].
Soluci´n:
o

√
8
(82 82 − 1) unidades.
243

4. Hallar la longitud de la curva dada por 24xy = x4 + 48 para x ∈ [2, 4].
Soluci´n:
o
x

17
unidades.
6

x

5. Hallar la longitud de la curva dada por y = a(e a − e− a ) para x ∈ [0, a].
Soluci´n:
o

1
1
a e−
2
e

unidades.

6. Hallar la longitud de la curva dada por y 2 = 12x para y...