integrales
1.- Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
a) F(x)
x2
x
e t (sent cos t)dt
b) G(x)
x3
0
senx cos tdt .
2. a) Estudiar la convergencia y, cuando sea posible, calcular las siguientes
integrales:
dx
1 x 2
1
3
dx
3 x
2
2
b) Estudiar la convergencia y, en su caso, calcular el valor de la integral y elárea encerrada entre la función f(x)
x
4 x2
y el eje de abscisas (OX) en
el intervalo [-2,2].
3.- Hallar el área de la región contenida entre las curvas:
y1
1
1
, y2 3
:
x 1
x x
2
a) En el intervalo [2,3]
b) Para x 3
1 1
4.- Calcular ,
2 2
1
y
2
5.- Analizar el carácter de las siguientes integrales impropias
a)
1senx
dx
xp
con p > 0
b)
1
senx cos x
dx
x3
c)
0
1
dx
1 x x
6.- Dada la función f(x) 2x 1 x 2 se pide:
a) Área encerrada por la función y el eje de abscisas
b) Volumen engendrado al girar la curva alrededor del eje de abscisas
7.- Hallar la longitud de las siguientes curvas, dadas en coordenadas polares.
a) r 2 3sen 2
b) r 2sen 3
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
1
Integrales
x(t) 3 2 cos t
8.- Calcular el área encerrada dentro de la curva
y(t) 2 5sent
9. Dos alumnos de la Escuela sostienen una cinta por sus extremos, a la misma
altura. La cinta describe una curva que se denomina catenaria, y cuya ecuación
x
es: y c cosh
c
Calcular la longitud de la cintahasta un cierto valor de la abscisa x.
c
O
x
10.- Un depósito esférico de 50 m de radio está al 21,6 % de su capacidad
¿Cuál es la profundidad del agua?
11.- Hallar el volumen del sólido cuya base es la región limitada por el eje x y el
arco de curva y=senx entre x = 0 y x = y cuyas secciones planas
perpendiculares al eje x son cuadrados con base en la región.
12.- Calcular la longitudy el área encerrada por la curva:
cos(t)[2 cos(2t)]
x(t) =
4
y(t) = sen(t)[2 cos(2t)]
4
13.- Dada la hipérbola x 2 y2 1 . Hallar:
a) El área encerrada por la hipérbola y la recta que pasa por su foco de abscisa
positiva.
b) El área encerrada por la hipérbola y su asíntota siendo x 1.
c) La superficie de revolución del casquete hiperbólico formado al girar lahipérbola respecto del eje X siendo x 1, 2 .
2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
Integrales
x(t) a(t sent)
14.- Para un arco de cicloide
. Se pide:
y(t) a(1 cos t)
a) El área encerrada por la curva y el eje de abscisas.
b) La longitud.
c) El volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva
y el eje X alrededor del ejeOX.
d) El volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva
y el eje X alrededor del eje OY.
e) La superficie de revolución del cuerpo formado al girar un arco de la cicloide
respecto del eje X.
15.- Para la cardioide de ecuación r =1 + cosα. Se pide:
a) El área encerrada por la curva y el eje de abscisas.
b) La longitud.
c) El volumen engendrado por la rotación del áreaencerrada por la curva y el eje
X alrededor del eje OX.
d) La superficie de revolución del cuerpo formado al girar la curva respecto del eje
X.
16.- Determinar la curva que pasa por el punto (4π2,1) y cuya pendiente, en
cos x
cada punto (x,y), tal que x>0, es
.
x
17.-
Hallar
el
valor
de
que
cumpla
que
2
f(x)
dx =2,
siendo
0
si 0 x 1
3¿Existe algún punto c del intervalo [0,2] tal que
f(x)=
si 1 x 2
5
f(c)=? ¿Contradice esto el teorema del valor medio integral?
18.- Dadas las funciones f(x)=sen(2x) y g(x)= tgx, se pide:
a) Hallar los puntos de intersección de dichas funciones entre -/2 y /2.
b) Hallar el área de la región limitada por dichas funciones entre los puntos de
corte hallados en el apartado...
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