integrales

Guía 6 - Integrales
2014
Bienvenido a la serie de guías resueltas de Exapuni! Esta serie de guías resueltas fue
hecha por estudiantes de la comunidad Exapuni para facilitar el estudio y con la mejor
intención de ayudar. Esperamos que te sean útiles. Podés buscar todo el material,
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Integrales
Ejercicio 1.Hallar, utilizando…
Comenzamos con el último tema de la materia, integrales. Tené en cuenta que
integrar es la operación inversa a derivar. Se va entender mejor a medida que
resolvemos los ejercicios. Al igual que con derivadas para las integrales también hay
reglas para aplicar y obtener el resultado.
a)
i) Nos dan una función derivada
Antes teníamos la función

y nos piden queobtengamos la función

y nos pedían que obtengamos la función derivada. Es

por esto que les comentaba que es la operación inversa. Tenemos la función:

La regla que más vas a usar en integrales es la siguiente:
∫

.

Vamos a explicar un poco lo que escribimos. El símbolo ∫ se usa para denotar que
estamos integrando. El término

es el exponente al que esta elevado la . El término

secoloca para aclarar que lo que estamos integrando es la variable . Esto se hace
debido a que podemos tener más de una variable en la integración y es importante
aclarar que estamos integrando. El término

no es más que una constante. Recordá

que cuando derivábamos una constante obteníamos como resultado . Ponemos una
constante porque no sabemos si la función primitiva, en este caso
constanteque fue derivada y quedo

tenía una

como resultado. Siempre recordar escribir la

constante. Ya podemos resolver el ejercicio:
∫

∫

ii)

Al integrar una constante únicamente tenemos que agregar la variable . Recordar que
la derivada de
∫

es

y estamos realizando la operación inversa.

∫

iii)

Recordar que la derivada del
Necesitamos la integral de
∫

es

es

.∫

Se entendió? Fíjate que si derivas
enunciado.
iv)

. La derivada del

obtenés la función

que nos da el

.

∫

∫

v)

∫

∫

No olvides que la derivada de

es

. La integral por lo tanto tampoco varía.

vi)

∫

∫

Es como el ejercicio i pero cambia el exponente:

vii)

∫

∫

viii)

∫

∫

b)
i)
Los ejercicios son similares a los anteriorespero con algunas nuevas reglas:

∫

∫

∫
Usamos las mismas reglas que ya vimos para resolver.
ii)

∫

∫(

)

Recordá que la derivada de

es

∫
iii)
√
Para integrar √ lo vamos a expresar como
∫

∫(

∫

∫(

∫
∫
iv)

√ )
)

.

∫

∫

∫
Ejercicio 2. Hallar la función…
a)

∫

∫

Nos dan el valor

, reemplazamos:

Ya tenemos la función completa:b)

∫

∫

Nos dan el valor

, reemplazamos:

c)

∫

∫

Nos dan el valor
( )

( )

, reemplazamos:

( )
( )

Ejercicio 3. Calcular las…
a)
∫
b)
∫
c)
∫(
d)

√ )

∫(

)

∫(

)

e)
∫
f)
∫

(

√ )

∫

(

)

∫(

)

g)
∫(

)

h)
∫(

)

Ejercicio 4. Calcular aplicando…
a)
∫
No todos los ejercicios se pueden resolver con lasreglas que venimos usando, existen
casos en que no es posible aplicarlas. Se usan diferentes métodos en esos casos. El
primero que vamos a ver es el método de sustitución.
La sustitución consiste en hacer un cambio de variable para poder resolver el ejercicio
llevando una situación que no se puede resolver con las reglas de integración a una
situación en la que si se puede. Resolvamos esteejercicio para entender mejor, al
principio seguramente te va a parecer rara la resolución, es hasta que resuelvas
ejercicios y vayas entendiendo como funciona.
Vamos a hacer un cambio de variable

Expresamos en función de

.

. Ahora derivamos:

Ahora podemos remplazar en la función original:
se reemplaza con

y

con

.

∫
∫
∫
Nos quedo una función en función de . Ahora si...