Integrales

Tema 2

Integrales m´ltiples u
2.1 Integral m´ ltiple sobre un rect´ngulo. u a

Definici´n 2.1 – Llamaremos rect´ngulo n-dimensional de lados [a1 , b1 ], [a2 , b2 ], . . . , [an , bn ], o a al intervalo cerrado de IRn A = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × · · · × [an , bn ] = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : ai ≤ xi ≤ bi , ∀ i = 1, . . . , n}. Definimos el volumen del rect´ngulo A como: a V(A) = (b1 − a1 )· (b2 − a2 ) · · · (bn − an ). Definici´n 2.2 – Llamaremos partici´n del rect´ngulo A = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ], a una o o a partici´n P = P1 × P2 × · · · × Pn , donde Pi es una partici´n del intervalo [ai , bi ]. Si Pi divide o o a [ai , bi ] en mi subintervalos, entonces P divide a A en m1 × m2 × · · · × mn subrect´ngulos a Ai1 i2 ···in = [xi1 −1 , xi1 ] × [xi2 −1 , xi2 ] × · · · × [xin −1, xin ] que llamaremos subrect´ngulos de la partici´n P . a o Dadas dos particiones P = P1 × · · · × Pn y Q = Q1 × · · · × Qn de A se dice que P es m´s a fina que Q cuando Pi es m´s fina que Qi , para i = 1, 2, . . . , n. a Observaci´n: o Si P y Q son dos particiones de A, entonces R = P ∪ Q es una partici´n m´s fina que P y Q. o a R = P ∪ Q = (P1 ∪ Q1 ) × (P2 ∪ Q2 ) × · · · × (Pn ∪ Qn ). Definici´n2.3 – Sean A = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ], f : A −→ IR acotada y P una partici´n o o de A. Para cada subrect´ngulo Ai1 i2 ···in de la partici´n, sean mi1 i2 ···in y Mi1 i2 ···in el inferior a o y el superior del conjunto {f (x1 , x2 , . . . , xn ) : (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Ai1 i2 ···in } y sea V(Ai1 i2 ···in ) el volumen de Ai1 i2 ···in . Llamaremos la suma inferior y suma superior de lafunci´n f respecto de la partici´n o o P a los valores L(f, P ) =
i1 ,...,in

mi1 ···in V(Ai1 ···in ) Mi1 ···in V(Ai1 ···in )
i1 ,...,in

U (f, P ) = respectivamente.

Las propiedades de 1.5, para dos variables, tambi´n se verifican para las sumas superiores e n e inferiores de las funciones en IR . En consecuencia, el conjunto de las sumas inferiores est´ a acotado superiormente por cualquiersuma superior y el conjunto de las sumas superiores est´ a acotado inferiormente por cualquier suma inferior, luego existen el superior del primero de estos conjuntos y el inferior del segundo y, se verifica que sup L(f, P ) ≤ inf U (f, P )
P P

Integrales M´ ltiples. u

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´ 2 Integrales multiples

Definici´n 2.4 – Se dice que f es integrable en A cuando o sup L(f, P ) = inf U (f, P ).
PP

Este n´mero com´n se llama integral de f en A y se designa por u u f ´ o f (x1 , x2 , . . . , xn )dx1 dx2 · · · dxn o ´ f (x)dx.

A

A

A

Las funciones integrables verifican tambi´n las propiedades recogidas en 1.9 y teoremas e an´logos a los vistos en la integral doble, por lo aqu´ s´lo recordaremos su enunciado ya que las a ı o demostraciones tambi´n son similares. e Teorema d´bilde Fubini 2.5 – Sean B ⊂ IRk y C ⊂ IRn−k dos rect´ngulos cerrados, y A ⊂ IRn e a el rect´ngulo cerrado dado por A = B × C . Sea f : A −→ IR una funci´n integrable tal que, a o para cada x ∈ B , la funci´n gx : C −→ IR dada por gx (y) = f (x, y) es integrable en C y sea o G(x) =
C

gx (y) dy =

C

f (x, y) dy.

Entonces la funci´n G(x) es integrable en B y o G(x) dx = gx (y) dy dx = f (x,y) dx dy.

B

B

C

A

Corolario 2.6 – Sea A = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × · · · × [an , bn ]. Si f : A −→ IR es integrable y continua en A, se tiene f (x1 , x2 , . . . , xn ) dx1 dx2 · · · dxn =
b1 a1 b2 a2

A

···

bn an

f (x1 , x2 , . . . , xn ) dxn · · · dx2 dx1

Proposici´n 2.7 (Integrales dependientes de un par´metro) – Sean A ⊆ IRn un rect´ngulo cero a a rado, I = [a, b]⊆ I y ψ: A × I −→ IR una funci´n tal que para cada x ∈ A la integral R o
b a

ψ(x, t) dt existe. Consideremos la funci´n ϕ: A −→ IR definida por ϕ(x) = o

b a

ψ(x, t) dt.

Entonces: a) Si ψ es continua en A × I , la funci´n ϕ es continua en A. o b) Si
∂ψ ∂xk (x, t)

existe y es continua en A × I , tambi´n existe e
∂ϕ ∂xk (x)

y se verifica que

=

b a

∂ϕ ∂xk (x),

para...