Integrales

Formulario de integrales
c 2001-2005 Salvador Blasco Llopis
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on 2.1 Espa˜
na.
S´
eptima revisi´
on: Febrero
Sexta revisi´
on: Julio
Quinta revisi´
on: Mayo
Cuarta revisi´
on: Mayo
Tercera revisi´
on: Marzo

1.
1.1.
1.1.1.

Integrales indefinidas
Funciones racionales e irracionales
Contienen ax +b

1
(ax + b)n+1 + C,
a(n + 1)

(1)

(ax + b)n dx =

(2)

dx
1
= ln |ax + b| + C
ax + b
a

(3)

dx
1
x
+C
= ln
x(ax + b)
a
ax + b

(4)

1
1
dx
=− ·
+C
2
(1 + x)
1+ x

(5)

1
2
1
1
xdx
=− ·
−
·
+C
(1 + bx)3
2b (1 + bx)2
2b 1 + bx

1.1.2.

Contienen

(6)

(7)

√

ax + b

√
2(3bx − 2a)(a + bx)3/2
+C
x a + bxdx =
15b2
√
x
2(bx − 2a) a + bx
√
dx =
+C
3b2
a + bx

1

n=1

2005
2003
2002
2001
2001

(8)(9)

dx
=
x a + bx
√

√


 √1 ln
a

√
√
√a+bx−√a + C,
a+bx+ a
 √2 arctan a+bx + C,
−a
−a

√
a + bx
dx = 2 a + bx + a
x

1.1.3.

Contienen x2 ± a2

(10)

dx
1
x
= arctan + C,
a2 + x2
a
a

(11)
1.1.4.

(x2

a>0
a<0

dx
+C
x a + bx
√

a>0

xdx
1
=√
+C
2
3/2
2
±a )
x ± a2

Contienen a2 − x2 ,
x
2

x
x
a2
arc sen + C,
2
a

(12)

(a2 − x2 )3/2 dx =

(13)

dx
1
1
a+x
x
+ C = arctanh
=
ln
a2 − x22a
a−x
a
a

(14)
1.1.5.

(a2

x2 ± a2 dx

√

x2 ± a 2

=
=

x2 ± a2 dx =

(16)

x

(17)

x3

(18)

√

a>0

dx
x
= √
+C
2
3/2
2
−x )
a a2 − x2

Contienen

(15)

a 2 − x2 +

1
x a2 ± x2 + a2 ln x + a2 ± x2 + C =
2
√
1
a2
2
2
(+)
2 x√a + x + 2 arcsenhx + C
2
1
2 − x2 + a arccoshx + C
x
a
(−)
2
2
1 2
(x ± a2 )3/2 + C
3

1
2
x2 + a2 dx = ( x2 − a2 )(a2 + x2 )3/2 + C
5
5

x2 − a 2
dx =
x

x2 − a2 − a ·arc cos

(19)

√

dx
x
= a · arcsenh + C
a
x2 + a 2

(20)

√

x2

(21)

1
a
dx
= arc cos
+ C,
2
2
a
|x|
x x −a

dx
= ln x +
− a2

a
+C
|x|

x2 − a2 + C = arccosh

√

2

(a > 0)

x
+ C,
a

(a > 0)

(22)
(23)
(24)

√
dx
x2 ± a 2
√
+C
=∓
2
2
2
a2 x
x x ±a

xdx
= x2 ± a 2 + C
x2 ± a 2
√
(a2 + x2 )3/2
x2 ± a 2
dx = ∓
+C
4
x
3a2 x3
x2
x
dx =
2
2
2
x −a

(25)

√

1.1.6.

Contienen

a2 − x2 dx =

(26)
x(28)

x2

(30)

a2 ± x2
1
x
2

a2 − x2 −

dx
x
= arc sen + C, a > 0
2
a
−x
√
dx
1
a + a2 − x2
√
+C
= − ln
a
x
x a2 − x2

(33)

√

x
dx = ±
a2 ± x2

(34)

√

a2

(35)

√

a2

1.1.7.

Contienen ax2 + bx + c

(36)

(a > 0)

x
a2
x
(2x2 − a2 ) a2 − x2 +
arc sen + C,
8
8
a
√
√
a2 ± x2
a + a2 ± x2
dx = a2 ± x2 − a ln
+C
x
x
√
− a2 − x2
dx
√
=
+C
a2 x
x2 a 2 − x 2
a2

(32)

a2
x
arc sen + C,
2
a

a2 − x2dx =

√

(31)

a2
x
arccosh + C
2
a

1
a2 ± x2 dx = ± (a2 ± x2 )3/2 + C
3

(27)

(29)

√

x2 − a 2 −

x2
x
dx = ±
2
2
±x

a 2 ± x2 + C

dx
= ln x +
+ x2

a 2 ± x2 ∓

x
a2
arc sen + C,
2
a

a2 + x2 + C = arcsenh

a>0

x
+ C,
a

a>0


√
2ax+b−√b2 −4ac
√ 1

ln
=

b2 −4ac
2ax+b+ b2 −4ac



2ax+b
2
dx
= √b2 −4ac arctanh √b2 −4ac + C, b2 > 4ac
=
ax2 + bx + c 
√ 2
arctan √2ax+b
+ C,
b2 < 4ac

2
4ac−b2

 4ac−b
2
+ C,
b2 = 4ac
− 2ax+b
3

a>0

(37)

(38)

(39)

1.1.8.

x
1
b
dx =
ln ax2 + bx + c −
ax2 + bx + c
2a
2a

dx
+C
ax2 + bx + c

x · dx
bx + 2c
= 2
+
n
+ bx + c)
(b − 4ac)(n − 1)(ax2 + bx + c)n−1
b(2n − 3)
dx
+ 2
, n = 0, 1,
2
(b − 4ac)(n − 1)
(ax + bx + c)n−1

(ax2

b2 < 4ac

2ax + b
dx
=
+
(ax2 + bx + c)n
−(b2 − 4ac)(n − 1)(ax2 + bx + c)n−1
2a(2n − 3)
dx
+
, n = 0, 1, b2 < 4ac−(b2 − 4ac)(n − 1)
(ax2 + bx + c)n−1
Contienen

√

ax2 + bx + c

(40)
ax2 + bx + cdx =
(41)

(42)

(43)

(44)

2ax + b
4a

a 0 + a 1 x + . . . + a n xn
√
dx
ax2 + bx + c
√

ax2

ax2 + bx + c +

√

ax2

dx
+ bx + c

Ver §3.5, p´
ag. 11: m´etodo alem´
an

√
dx
1
= √ ln 2ax + b + a ax2 + bx + c + C =
a
+ bx + c
 1
2ax+b
√
√
∆ < 0, a > 0;

 a arcsenh 4ac−b2 + C,
1
√ ln |2ax + b| + C,
∆ = 0, a > 0; , ∆ =b2 − 4ac
a

 √1
+ C, ∆ > 0, a < 0;
arc sen √2ax+b
− −a
b2 −4ac

√
x
dx
ax2 + bx + c
b
√
√
−
dx =
2
2
a
2a
ax + bx + c
ax + bx + c

√ √ 2
 −1
√ ln 2 c ax +bx+c+bx+2c + C, c > 0
dx
x
c
√
=
bx+2c
x ax2 + bx + c  √1 arc sen √
+ C,
c<0
2
−c

1.2.

4ac − b2
8a

|x| b −4ac

Funciones trigonom´
etricas

1.2.1.

Contienen sen ax

(45)

1
ax
dx
+C
= ln tan
sen ax
a
2

(46)

sen2 axdx =

1 ax −...

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