Integrales

1.2.2 Resolución de Integrales por Cambio de Variable
 
Consiste en igualar una parte del integrando a una nueva variable, por ejemplo u, llamada variable auxiliar. Luego de esto, sedebe calcular la derivada de la variable auxiliar y realizar las operaciones necesarias, para que ni en el integrando ni en el diferencial, aparezca alguna expresión en términos de la variableoriginal. A esto se le denomina cambio de variable (CDV).
 
Luego de hacer efectivo el CDV, por lo general, se obtienen integrales más sencillas que la original, las cuales se resuelvenaplicando lo aprendido en el método anterior. Por esta razón, es necesario que el lector haya estudiado detalladamente dicho método puesto que en la solución de los ejemplos de esta parte dela obra, no se incluye una explicación específica de este contenido que ya debe ser parte de sus redes conceptuales.
 
Es importante señalar que el resultado de la integración, debe estaren función de las variables originales por lo que se acostumbra a emplear el término “devolviendo el cambio de variable” para reseñar el proceso mediante el cual la variable auxiliardesaparece de la respuesta definitiva.
 
A continuación se presenta un conjunto de ejemplos, cuya función es introducir este segundo método de integración.

El método de integración porsustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modoque se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por cambio de variable

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sutituyendoen la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3º Se vuelve a la variable inical:

Ejemplo

Cambios de variables usuales
1.
2.
3.
4.

Ejemplos