Integrales

LA UNIVERSIDAD DEL ZULIA
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
CATEDRA: CALCULO III











[pic]














Profesor Pedro Colina




Maracaibo, abril de 2010
Ultima revisión abril 2010

INTEGRALES MULTIPLES
Ejemplo nº 1
Calcule el volumen del sólido del primer octante acotado por elcilindro [pic], y el plano [pic]. Use integrales triples.

Solución.
Se tiene que el cilindro[pic]origina la región D sobre a cual se va a integral o se van a obtener los límites de integración, además la proyección en el plano xy respecto a la figura del primer octante permite obtener un arco de circunferencia de radio 1.
Se resuelve usando coordenadas cilíndricas.
Se definen los límites conrespecto a las variables r, θ, z.
Para la función z = x al sustituir queda:[pic], mientras que de: [pic]se obtiene [pic]


[pic]
[pic]
[pic]
Entonces el volumen se calcula:
[pic]

[pic]


Se concluye que [pic]

Ejemplo nº 2
Un sólido tiene forma de cilindro circular recto, cuyo radio de la base mide R metros y cuya altura mide h metros. Calcule la masa del sólido si la densidadvolumínica varía como la distancia a una de sus bases. La densidad volumínica se mide en Kg/m³.

Solución.
Hagamos una representación de un cilindro circular recto, con eje z, cuya base este sobre el plano xy, (el centro del cilindro, es el eje z).

La altura es h, el radio R y entonces hacemos que la densidad esté medida según el eje z, desde el plano xy hacia arriba.

Entonces la masa seexpresa como:
[pic],
Como el sólido corresponde básicamente a un cilindro, su proyección en el plano xy es un área circular, se resolverá mediante el uso de coordenadas cilíndricas. Determinamos los límites de integración para cada variable.
[pic]
Donde [pic]

Entonces la masa se calcula:

[pic]

[pic]

Se concluye que la masa será [pic]


Ejemplo nº 3
Calcular la integral doblepasando a coordenadas polares.
[pic]
Solución.
Primero se analiza la expresión: se necesita reconocer los límites en las nuevas coordenadas, las polares, ya que inicialmente los límites están dados respecto a las coordenadas rectangulares. Se observa que la expresión [pic]se refiere al límite respecto de la variable x, así que se tiene:
[pic], elevando al cuadrado queda: [pic], lo cual representauna circunferencia de radio [pic], pero solo considerando la mitad superior al eje x,
Entonces [pic], esto da el valor de r: [pic]
Así al evaluar los limites de integración en coordenadas polares:
[pic]

[pic][pic]

[pic]

Se concluye que:
[pic]

Ejemplo nº 4
Calcular la integral doble pasando a coordenadas polares.
[pic]
Solución.
De nuevo, primero se analiza la expresión:se necesita reconocer los límites en las nuevas coordenadas, las polares, ya que inicialmente los límites están dados respecto a las coordenadas rectangulares. Se observa que la expresión [pic]se refiere al límite respecto de la variable x, así que se tiene:
[pic], elevando al cuadrado queda: [pic], lo cual al realizar la completación de cuadrados se obtiene: [pic], representa una circunferenciade radio 2, con centro en el punto [pic]pero solo considerando la mitad positiva respecto al eje y.
Esta circunferencia al expresarla en coordenadas polares se obtiene la siguiente expresión:

[pic], donde al sustituir las expresiones: [pic] ; [pic] queda
[pic]

Así que r varia de la siguiente manera: [pic]

Como la semi circunferencia está en el primer cuadrante el valor angular[pic] varía de la siguiente manera: [pic]

La función dada queda: [pic]

La integral se escribe:
[pic][pic]


[pic]


[pic]

Al integrar se obtiene:


[pic]
[pic]


[pic]
[pic]




Se concluye que:


[pic]

Ejemplo nº 5
Hallar la masa y el centro de masa de la lámina acotada por las gráficas de las ecuaciones con la densidad que se...