interesante

S is tem a de nú mer os real es |1

1.1 Sistema de números reales
NÚMEROS REALES.
Los números reales es el conjunto de números con los que se trabaja en álgebra y aunque se usan de manera
cotidiana para describir tan diversas cantidades como temperatura, salario, longitud, calificaciones, etc., bien
vale la pena hacer una rápida revisión de su estructura y sobre todo de sus propiedades.Los números reales están conformados por diferentes tipos de números, comenzaremos con los números
naturales, también llamados enteros positivos.
= {1,2,3, … }
Al añadir el cero y los negativos de los números naturales se obtiene el conjunto de los números enteros
= {⋯ − 3, −2, −1,0,1,2,3, ⋯ }
Los números enteros son insuficientes porque en ocasiones se requiere hacer referencia a la parte deun todo o
a la fracción de un total; es por eso que se considera al conjunto de los racionales .
Formalmente un número real se llama número racional si puede ser escrito como el cociente de dos enteros
donde

≠ 0. Por ejemplo
2
2= ,
1

1
,
3

3
,
4

−

12
,
5

0=

0
7

En contraparte al conjunto de números racionales existen otro tipo de números reales que no se puedenexpresar como cociente de dos números enteros, es el llamado conjunto de números irracionales ′. Por
ejemplo √2, , etc.
Hay que precisar que no todas las fracciones son números racionales, tal es el caso de la fracción

√

que no es un

número racional.
Todo número real tiene una representación decimal y bajo esa representación se revela una característica
distintiva entre losracionales e irracionales. Un número racional se puede representar como un decimal con una
cantidad de cifras finita o como un decimal periódico.
Cantidad de cifras finita
= 0.25,

Periódico
= 0.166666 ⋯ = 0.16

= 2.125
= 1.31717171 ⋯ = 1.317
= 2.285714285714 ⋯ = 2. 285714

2|S i s tema de núm er os r eal es

En su representación decimal un número irracional no presenta una cantidad decifras finita y ni siquiera es
periódico, es por eso que al hacer operaciones con números irracionales en su representación decimal siempre
se está trabajando con aproximaciones, no importa cuántos decimales se utilicen, no dejarán de ser valores
aproximados redondeados. Por ejemplo
≈ 0.6667 y

= 3.1416

Todos estos números de los que hemos estado hablando forman parte del conjunto de losnúmeros reales, así
llamados para distinguirlos de los números complejos, otra clase de números que no ocuparemos en este repaso
de álgebra. El siguiente esquema muestra las relaciones que se establecen entre los diferentes tipos de números
reales mencionados

Como se puede apreciar, el conjunto de los números racionales junto con todos los números irracionales
conforman el llamado conjunto denúmeros reales ℝ.
ℝ=

∪ ′

Los números reales se pueden combinar usando las conocidas operaciones de suma y multiplicación. Estamos
tan acostumbrados a estas operaciones que aplicamos las propiedades de los números reales sin percatarnos
de ello
Propiedad

Ejemplo

Propiedades conmutativas
+ = +
=

7+3 =3+7
3∙5 =5∙3

Propiedades asociativas
( + )+ = +( + )

(6 + 4) + 1 = 6 + (4 +1)

(

) = (

)

(3 ∙ 9) ∙ 4 = 3 ∙ (9 ∙ 4)

Descripción
No importa el orden en la suma
No importa el orden en la
multiplicación
Al sumar tres números no importa
cuál sea el par que se sume
primero
Al multiplicar tres números no
importa cuál sea el par que se
multiplique primero

S is tem a de nú mer os real es |3
Propiedad
Propiedad distributiva
( + )=
+
( + ) =
+Ejemplo

Descripción
Se obtiene el mismo resultado si
primero sumamos los términos y
después se hace la multiplicación a
que si primero multiplicamos cada
término y después se hace la suma.

5 ∙ (4 + 2) = 5 ∙ 4 + 5 ∙ 2
(4 + 2) ∙ 5 = 4 ∙ 5 + 2 ∙ 5

La propiedad distributiva describe la manera en que la suma y la multiplicación interactúan una con otra.
La operación de resta se...