Interpolaci n Lagrange

Interpolación de Lagrange
Alejandro Chango, Bryan Saravia, Leonardo Tayupanta
Departamento de Ciencias Exactas, Universidad de las Fuerzas Armadas “ESPE”
Sangolquí, Ecuador
jachango1@espe.edu.ec, basaravia@espe.edu.ec, lstayupanta@espe.edu.ec

Abstract— In this document will be discussed about Lagrange interpolation like a numerical method to adjust curve and approximate the value of a functionfrom set data.
Resumen— En este documento se discutirá la interpolación de Lagrange como método numérico para ajustar curvas y aproximar el valor de una función a partir de un conjunto de datos.
I. INTRODUCCIÓN
La interpolación por medio de los polinomios de Lagrange es nos ayuda a obtener una función, la cual es representativa de un conjunto de datos, y con la cual podremos obtener el valoraproximado de un punto que no se encuentre en dicho conjunto de datos.
II. OBJETIVOS
Encontrar una función polinómica que pase por esos n+1 puntos y que tengan el menor grado posible. Un polinomio que pase por varios puntos determinados se llama un polinomio de interpolación.
Obtener y aplicar la expresión que proporciona el error de interpolación en el proceso de interpolación polinómica de LagrangeObtener cotas del error de interpolación de Lagrange
III. DESARROLLO DE CONTENIDOS
A. Definición de Interpolación
En ingeniería y en algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función que los ajuste.
En forma general la interpolación consiste en ajustar puntos que se encuentran dispersos parade esta forma obtener una función que los ajuste a una recta, parábola, etc.

Fig.1 Interpolación
B. Interpolación lineal.
El modo más simple de interpolación es conectar dos puntos con una línea recta. A esta técnica se la llamada interpolación lineal.

Esta es una fórmula de interpolación lineal. La notación f1(x) designa que es una interpolación de polinomios de primer orden.
En general, cuantomás pequeño sea el intervalo de datos, mejor será la aproximación. Esto se debe al hecho de que, en tanto el intervalo disminuya, una función continua se aproxima mejor a una línea recta.

Fig.2 Interpolación lineal
C. Método de Diferencias divididas (Polinomio interpolante de Newton).
La forma general del polinomio interpolante de Newton para n+1 datos es:

Los coeficientes así se obtienencalculando un conjunto de cantidades denominadas diferencias divididas.
La notación para las diferencias divididas de una función f(x) están dadas por:



Las diferencias divididas de orden superior se forman de acuerdo con la siguiente regla recursiva:


D. Interpolación de polinomios de Lagrange
Es simplemente una reformulación del polinomio de Newton que evita el cálculo por diferencias divididas.Se puede expresar de manera concisa como:

Donde

Donde pi designa el “producto de”. Por ejemplo, la versión lineal (n=1) es:

El resultado de la formulación de Lagrange se puede captar de manera directa al darse cuenta que cada termino será 1 en y 0 en todos los otros puntos de la muestra. De esta manera, cada producto toma el valor de en el punto de muestra . En consecuencia, la sumatoriade todos los productos designados para la ecuación de Lagrange es el único polinomio de n-ésimo orden que pasa de manera exacta a través de todos los n+1 puntos.

Fig. 3 Interpolación de Lagrange
Demostración: Puesto que el polinomio de interpolación correspondiente a un polinomio p de Pn es el propio polinomio, las componentes de p en esta base, son los valores del polinomio en los nodos. Esdecir, su expresión en términos de las funciones de L, es :

lo que prueba que L es un sistema de generadores de Pn. Puesto que hay n + 1 funciones de forma y la dimensión de Pn es n + 1, se concluye que L es una base de Pn. De la unicidad de las componentes de un vector en una base se desprende la unicidad de L. Si se expresan los elementos de la base {1, x, ..., xn} de Pn en términos de la base...