Interpolacion

Universidad Politécnica de Madrid

Ingeniería de Minas

INTERPOLACIÓN: INTERPOLACIÓN: Fórmulas en diferencias finitas Fórmulas en diferencias finitas
Prof. Alfredo López Benito Prof. Carlos Conde Lázaro Prof. Arturo Hidalgo López
Marzo, 2007
Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
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OBJETIVOS OBJETIVOS
1º. Conocer elconcepto de soporte equidistante. 2º. Conocer el concepto de diferencia finita (progresiva y regresiva). 3º. Conocer las principales propiedades de las diferencias finitas y su relación con las diferencias divididas. 4º. Particularizar la fórmula de Newton al caso de soportes equidistantes: Fórmulas en diferencias finitas. 5º. Obtener polinomios interpoladores utilizando diferencias finitas.Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
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SOPORTES EQUIDISTANTES SOPORTES EQUIDISTANTES
Definición Siendo h un valor real estrictamente positivo, se denomina soporte equidistante a todo soporte de (n+1) puntos generados a partir de un punto x0 mediante: xi = x0 + i·h ( i = 1, 2, ..., n)

Un soporte equidistante se caracterizaporque la distancia entre dos puntos consecutivos cualesquiera de él siempre es la misma.
h h h h h

xo

x1

xi

xn
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DIFERENCIAS FINITAS PROGRESIVAS DIFERENCIAS FINITAS PROGRESIVAS
Definición Sea {x0 < x1 < ....< xn} un soporte equidistante y sean {f0, f1, ..., fn} los valores deuna función f(x) en los (n+1) puntos del soporte. Se denomina: • Diferencia finita progresiva de orden 0 de f(x) en xi al valor:
∆ (0) fi = fi

(i = 0, ...., n )

• Diferencia finita progresiva de orden k de f(x) en xi al valor:
∆ (k ) fi = ∆ (k −1) fi+1 − ∆ (k −1) fi

(k = 1, 2, ..., n) (i = 0, ...., (n - k))
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TABLA DE DIFERENCIAS FINITAS PROGRESIVAS TABLA DE DIFERENCIAS FINITAS PROGRESIVAS
=∆∆ f f0 f1 =∆∆ f f1 (2) ∆ − f2 x 2 → f2 =∆∆ f f2 = f3 f2 2 3 3 2 2 (2) f3 ∆ (1) f − ∆ (1) 3 ∆ − f3 = ∆ (3) f34 = ∆ (2) f4 − ∆ (2) f3 x 3 → f3 =∆∆ f f3 = f4 ... ... ... ... ... ... ... ... ... (0) (1) ∆ (2) ffn−22 = ∆ (1) fn−1 − ∆ (1) fn− 2 xn− 2 → fn− 2 =∆∆ fnfn2− 2 fn−1 − n− − = (1)xn−1 → fn−1 =∆∆ (0) fn1−1 = fn − fn−1 fn− xn → fn = ∆ (0) fn
f0
(0) (1) 0 (0) (1) 1 (0) (1) 2 (0) (1) 3

x0 → x1 →

(2) ∆− f00 = f1 f (2) ∆ − f1 = f2 f1

... ... = ∆ (3) ff1 = ∆ (2)f0 − ∆ (2) f0 ∆ (1) 0 − (1) 1 ... ... = ∆ (3) f12 = ∆ (2) f2 − ∆ (2) f1 ∆ (1) f − ∆ (1) 1 ... ... = ∆ (3) f = ∆ (2) f − ∆ (2) f ∆ (1) f − ∆ (1)

∆ (n) f0

∆ (n−1) f1 − ∆ (n−1) f0
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DIFERENCIAS FINITAS REGRESIVAS DIFERENCIAS FINITAS REGRESIVAS
Definición Sea {x0 < x1 < ....< xn} un soporte equidistante y sean {f0, f1, ..., fn} los valores de una función f(x) en los (n+1) puntos del soporte. Se denomina: • Diferencia finita regresiva de orden 0 de f(x) en xi al valor:
∇ (0) fi = fi

(i = 0, ...., n)

• Diferencia finita regresiva de orden k de f(x) en xi al valor:
∇ (k) fi = ∇ (k −1) fi − ∇ (k −1) fi−1

(k = 1, 2, ..., n) (i = k, ...., n)
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TABLA DE DIFERENCIAS FINITAS REGRESIVAS TABLA DE DIFERENCIAS FINITAS REGRESIVAS
x0 → x1 → x2 → x3 → ... x n− 2 ... →

x n−1 → xn →

=∇ (0) f0 f1 = ∇ (0) ff1 ∇ (1) 1 = f1 − f0 f2 = ∇ (0) ff2 ∇ (1) 2 =∇2(2) f2f1 = ∇ (1) f2 − ∇ (1) f1 f − (1) f3 = ∇ (0) ff3 ∇ (1) 3 =∇3(2) f3 2 = ∇ (1) ff3 − ∇= ∇ (2) f3 − ∇ (2) f2 f −f f2 ∇ (3) 3 ... ... ... ... ... ... ... ...... ... fn− 2 = ∇ (0) ffn−22 = fn−(2)− − n−= ∇∇ (3) fn− 2 = ∇ (2)−n− 2 − ∇ (2) fn− 3 ∇ (1) n− ∇ 2 fn f2 3 (1) fn− 2 − ∇ (1) fn f3 fn−1 = ∇ (0) ffn−1 = fn−(2)−nfn−= ∇∇ (3)...