Interpolacion

Interpolación

Análisis Numérico I

ÍNDICE
Introducción................................................................................................................... 3
Simple............................................................................................................................. 4Lagrange......................................................................................................................... 7
Newton diferencias divididas......................................................................................... 11
Newton diferencias finitas.............................................................................................. 13
Mínimoscuadrados........................................................................................................ 15
Conclusiones................................................................................................................... 19
Referencia bibliográfica.................................................................................................. 19
INTRODUCCIÓN
En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a laobtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.
En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función que los ajuste.
La interpolación lineal es un caso particular de la Interpolación general de Newton.
Con el polinomio de interpolación deNewton se logra aproximar un valor de la función f(x) en un valor desconocido de x. El caso particular, para que una interpolación sea lineal es en el que se utiliza un polinomio de interpolación de grado 1, y se denota de la siguiente manera:

en esta ocasión usaremos 5 de entre todos los métodos existentes para interpolar tomando la aproximación lineal, aproximación de LaGrange, aproximación denewton en diferencias divididas, aproximación de newton en diferencias finitas y el método de mínimos cuadrados, con tales métodos trataremos de darle solución a la interpolación del valor de 1.5 p(atm) dentro de la tabla utilizada a continuación se muestra la tabla:

i | P(atm) | T(c°) |
0 | 1 | 25 |
1 | 2 | 34 |
2 | 3 | 42 |
3 | 4 | 58 |
4 | 5 | 60 |
5 | 6 | 62 |
6 | 7 | 65|
7 | 8 | 63 |
8 | 9 | 67 |
9 | 10 | 75 |
Para resolver los sistemas de ecuaciones utilizamos calculadora científica normal, office exel, para sistema de ecuaciones 4 x 4 utilizamos una pagina en internet http://translate.google.com.mx/translate?hl=es&sl=en&tl=es&u=http%3A%2F%2Fmysite.verizon.net%2Fres148h4j%2Fjavascript%2Fscript_gauss_jordan44.html .

1. Aproximaciónpolinomial simple en x=1.5
Tabla
I | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
F(x) | 25 | 34 | 42 | 58 | 60 | 62 | 65 | 63 | 67 | 75 |

Ecuación de la recta
pX=a0+a1x

Construcción del sistema 2x2
25a01a134a02a1
a0=16
a1=9

Sustitución en formula original
fx=16+9x
Resultado:
p1.5=16+91.5
p1.5=29.50000

Polinomio de grado 2
Ecuación dela parábola
px=a0+a1x+a1x2

Construcción de sistema 3x3
25a0a1134a0a1242a0a13a21a24a29
a0=15
a1=10.5
a2=-.5
Sustitución en ecuación original
p2x=15+10.5x-.5X2
Interpolación
p21.5=15+10.51.5-.51.5
p21.5=29.62500
Polinomio de grado 3
p3x=a0+a1+a2x2+a3x3
Planteamiento de sistema
25 a0 a1(1) a2(1) a3(1)
34 a0 a1(2) a2(4) a3(8)
42 a0 a1(3) a2(9) a3(27)
58 a0 a1(4)a2(16) a3(64)
a0=6
a1=27
a2=-9.5
a3=1.5

Sustitución en ecuación
p3x=6+27x-27x2+1.5x3
Resultado:
p31.5=6+271.5-9.51.52+1.51.52
p3=30.18750

2. Aproximación polinomial por el método de lagrange
Polinomio de primer grado (ecuación de la recta)
px=a0x-x1+a1x-x0 x=1.5

Formulas a0=fx0 x0- x1 a1=f x1 x1- x0
fx=fx0 x0- x1x- x1+f x1 x1- x0(x- x0)...