Interpolación e integración

Indice

Introducción Teórica

Método de Lagrange Página 1

Interpolación baricéntrica de Lagrange Página 3

Ajuste: Cuadrados Mínimos Página 4

Integración numérica Página 6

Formulas de Newton-Cotes Página 6

Fórmulas Compuestas Página 10

Cuadratura de Gauss Página 13

Notas finales Página 15

Parte Práctica. ResultadosInterpolación por el método de Lagrange Baricentrico Página 16

Ajuste por cuadrados mínimos (polinomio de grado 4) Página 16

Ajuste lineal por cuadrados mínimos. Obtención de los valores de las constantes de la expresión de Ramberg-Osgood Página 17

Integración Página 18

Conclusiones Página 19
Introducción teórica

Interpolación y Ajuste de curvas.

Es usual quelos ingenieros trabajen con datos extraídos de mediciones, relevamientos, ensayos de laboratorio, etc., los cuales no siempre entregan el valor necesitado para el problemaque se está tratando de resolver.

Método de Lagrange

Supongamos que tenemos una lista con datos ordenados de a pares como la de la siguiente tabla:
X y
x0 y0x1 y1
x2 y2
x3 y3

Y supongamos que necesitamos conocer el valor de y(xA) para un xA entre x1 y x2. La forma sencilla de obtener este valor es graficar estos puntos y trazar un segmento de recta que una y1 e y2, ubicar xA en las abscisas y trazar por él una línea recta paralela al eje de ordenadas que corte elsegmento ya mencionado. Finalmente, desde este punto, trazamos una línea recta paralela al eje de abscisas hasta cortar el eje de ordenadas, con lo cual hemos obtenido el valor de y(xA). Queda muy evidente que este procedimiento es muy engorroso si se quiere hacerlo en forma metódica. Sin embargo, es la forma más sencilla de interpolación polinomial, la interpolación lineal. Efectivamente, sitomamos los dos puntos en cuestión podemos armar una recta mediante el siguiente sistema:
y1 = m x1 + n
y2 = m x2 + n
Si restamos y1 a y2 obtenemos m:
y2 − y1 = m(x2 − x1) m = y2 − y1/ x2 − x1.

Si ahora reemplazamos m en la primera ecuación obtenemos n:

y1 = (y2 − y1/x2 − x1) x1 + n n = y1 − (y2 − y1/x2 − x1) x1.

Finalmente la ecuación de la recta que pasa por y1 e y2 es:y(x) = (y2 − y1/x2 − x1) (x − x1) + y1,
que también puede escribirse como

y(x) = y1 (x − x2/x1 − x2) + y2 (x − x1/x2 − x1).

Para hallar y(xA) basta con reemplazar xA en cualquiera de las expresiones anteriores. Lo hecho anteriormente es equivalente al procedimiento gráfico. ¿Pero que pasa si queremos usar más de dos puntos? Supongamos que necesitamos usar cuatro puntos
para interpolar unpunto cualquiera entre x0 y x3. En ese caso, el polinomio de mayor grado posible es un polinomio cúbico, porque tiene cuatro coeficientes, y se puede expresar así: y(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3.
Si reemplazamos los cuatro puntos en esta ecuación obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
y0 = a0 + a1 x0 + a2 x20+ a3 x30
y1 = a0 + a1 x1 + a2 x21+ a3 x31
y2 = a0 + a1 x2 + a2 x22+ a3x32
y3 = a0 + a1 x3 + a2 x23+ a3 x33

Basta con resolver este sistema de ecuaciones lineales para obtener los coeficientes ai.
Analicemos el sistema escribiéndolo en forma matricial:
[pic]
Se trata de una matriz especial, que se conoce como matriz de VanderMonde. Tiene la particularidad de ser mal condicionada, por lo que cualquier método que usemos para resolver este sistema puede traernosalgún problema. La interpolación de Lagrange es una forma sencilla sistemática de resolver el sistema de ecuaciones lineales anterior. Calculamos los n + 1 polinomios Ln;i(x) relacionados cada uno con cada dato xi, donde n es el grado del polinomio e i indica el punto considerado, mediante la expresión:

[pic]

con i = 0; 1; . . . ; n, j = 0; 1; . . . ; n, y xi y xj refieren a los datos a...